2020届高考数学大二轮复习层级二专题三数列第1讲等差数列、等比数列教学案.docx

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1、第1讲　等差数列、等比数列[考情考向·高考导航]1．等差数列、等比数列的判定及基本运算是每年高考的热点，在考查基本运算的同时，也注重考查对函数与方程、等价转化等数学思想的应用．2．对等差数列、等比数列性质的考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和．[真题体验]1．(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　)A．16　　　　　　　　　　B．8C．4D．2解析：C　[应用等比数列前n项和公式解题时，要注意公比是否等于1，防止出错．设正数的等比数列{an}的公比为q，则解得∴a3＝a1q2＝4，故选C.]2．

2、(2016·天津卷)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的(　　)A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：C　[设数列的首项为a1，则a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)，当q<0，因为1＋q的符号不确定，所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋an<0，即a1q2n－2(1＋q)<0，即q<－1<0，故“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要不充分条件．]3．(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an

3、}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．解：(1)设{an}的公差为d，由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为an＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.由a1＞0知d＜0，故Sn≥an等价于n2－1ln＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n

4、1≤n≤10，n∈N}．[主干整合]1．等差数列(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)求和公式：Sn＝＝na1＋d；(3)性质：①若m，n，p

5、，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列．2．等比数列(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝＝；(3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；②an＝am·qn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列．热点一　等差、等比数列的基本运算[题组突破]1．(2019·宁波三模)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝－3，b1＋b6＋b11＝7π

6、，则tan的值是(　　)A．－　　　　　　　　　B．－1C．－D.解析：A　[依题意得，a＝(－)3,3b6＝7π，∴a6＝－，b6＝，又＝＝－，故tan＝tan＝tan＝－tan＝－，选A.]2．(2020·广州调研)已知等比数列{an}公比为q，其前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3等于(　　)A．－B．1C．－或1D．－1或解析：A　[若q＝1，则3a1＋6a1＝2×9a1，得a1＝0，矛盾，故q≠1.所以＋＝2，解得q3＝－或1(舍)，故选A.]3．(2019·淄博三模)设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若＜－1，则(　　)

7、A．Sn的最大值是S8B．Sn的最小值是S8C．Sn的最大值是S7D．Sn的最小值是S7解析：D　[由(n＋1)Sn＜nSn＋1得(n＋1)·＜n·，整理得an＜an＋1，所以等差数列{an}是递增数列，又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，所以数列{an}的前7项为负值，即Sn的最小值是S7.]　等差、等比数列基本运算的关注点(1)基本量：在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本元素；(2)解题思路：①设基本量a1和d(q)；②列、解方程(组)；把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少计算量．热点二　等差(比)数列的判断与证明[例1]　(20

8、20·龙岩质检)已知数列{an}满足an＝3an－1＋k3n－1(n∈N*，n≥2，k∈R)．(1)设a1＝1，k＝0，证明数列是等比数列；(2)对任意k∈R，是否存在一个实数t，使得bn＝(an＋t)(n∈N*)且{bn}为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．[解析]　(1)证明：当k＝0时，an＝3an－1－1，所以an－＝3an－1－＝3，即＝3，又a1－＝≠0，所以数列是首项为，公比为3的等比数列