分析法典型例题.doc

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1、分析法典型例题1．已知a＞b＞0，求证：．　证明：　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝a－2＋b＜a－b　＜　＝＝＝＝＝＝＝＝＝　＜　＝＝＝＝＝＝＝＝＝　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝b＜a＜0(已知条件)．2．设x，y∈R+，且x＋y＝1，求证：．证明：　　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　　　　　　　　　　　　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝2＋x－x2≥9x－9x2　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝8x2－8x＋2≥0　　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝(2x－1)2≥0此式明显成

2、立．3．已知，求证：．　　证明：　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝1＞1－y2＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝y2＞0＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝y＞0(已知条件)．84．已知a，b，c是不全相等的正数，求证：．　　证明：　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝，，　(三式等号不能同时成立)　＜　＝＝＝＝＝＝＝＝＝a，b，c为不全相等的正数(已知)．5．已知实数a，b，c满足c＜b＜a，a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：．证明：∵a＋b＋c＝1，∴⇔．又∵a2＋b2＋c

3、2＝1，∴而　a＋b＝1－c，∴a，b是二次方程x2－(1－c)x＋c2－c＝0的两个不等实根，　　　　　从而，△＝(1－c)2－4(c2－c)＞0，解得　．　　　　又∵　c＜b＜a，　　　　　∴　(c－a)(c－b)＞0，即c2－c(a＋b)＋ab＝c2－c(1－c)＋c2－c＝3c2－2c＞0，　　　　　∴　c＜0或c＞(舍去)．　　　　　∴　，即．6．是否存在常数c,使得不等式对任意正数x，y恒成立？解：令x＝y＝1，得　，∴　．　　　下面给出证明：　　　　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝　3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤

4、2(x＋2y)(2x＋y)　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　x2＋y2≥2xy　(这个明显成立)．8　　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝2(x＋2y)(2x＋y)≤3x(2x＋y)＋3y(x＋2y)　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝2xy≤x2＋y2　(这个明显成立)．　　　　　综上所述，．7．已知a，b，c∈R+，且a＋b＋c＝1，求证：．证明：　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝．＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝，且a＋b＋c＝1＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝，且，且．＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　a，b，c∈R+．8．已知a＞0，b＞0，2c

5、＞a＋b，求证：．证明：　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝a2－2ac＋c2＜c2－ab　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝2ac＞a2＋ab　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝2c＞a＋b(已知)．9．已知a，b，c∈R+，且ab＋bc＋ca＝1，(1)求证：a＋b＋c≥；证明　a＋b＋c≥＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　(a＋b＋c)2≥3，且a，b，c∈R+＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)≥3＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝　a2＋b2＋c2≥1＝ab＋bc＋ca＜＝＝＝＝

6、＝＝＝＝＝a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac．(2)求证：．8证明　∵＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝且且．10．已知a，b，c，d都大于1，且loga(bcd)≤9，求证：logba＋logca＋logda≥1．　　证明　logba＋logca＋logda≥1＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝logab·logac·logad≤27＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝≤＝27＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝a，b，c，d都大于1，且loga(bcd)≤9．11．已知函数

7、f(x)＝tanx，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，求证：．　证明：　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝1＋cos(x1＋x2)＞2cosx1cosx2，且x1，x2∈＜＝＝＝＝＝＝＝＝1＋cosx1cosx2－sinx1sinx2＞2cosx1cosx2＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝1＞cosx1cosx2＋sinx1sinx2＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝1＞cos(x1－x2)＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝x1≠x2．12．求证：对任意实数x，不等式恒成立．　　证明　＜＝＝＝

8、＝＝＝＝＝＝＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝3sin2x≤4＋4cosx＋cos2x＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝4cos2x＋4cosx＋1≥0＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝(2cosx＋1)2≥0恒成立．13．已知三角形三边长为a，b，c，面积为S，求证：．证明　＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝8＜＝＝＝＝＝＝＝＝＝