层次分析法例题.doc

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1、数学建模作业班级：高分子材料与工程姓名：林志许、朱金波、任宇龙学号：1211020115、1211020126、1211020134层次分析法某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。以A表示系统的总目标，判断层中表示功能，表示价格，表示可维护性。，，表示备选的3种品牌的设备。购买设备A功能B1价格B2维护性B3产品C1产品C2产品C3目标层判断层方案层图设备采购层次结构图解题步骤：1、标度及描述人

2、们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。标度定义（比较因素i与j）1因素i与j同样重要3因素i与j稍微重要5因素i与j较强重要7因素i与j强烈重要9因素i与j绝对重要2、4、6、8两个相邻判断因素的中间值倒数因素i与j比较得

3、判断矩阵aij，则因素j与i相比的判断为aji=1/aij注：aij表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系：aij=1/aji；aii=1；i，j=1，2，…，n显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。2、构建判断矩阵A判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：●判断矩阵(即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比较)如表1所示；●判断矩阵(相对功能，各方案的相对重要性比较)如表2所示；●判断矩阵(相对价格，各方案的相对重要性比较)如表3所示；●判断矩阵(相对可维护性，各

4、方案的相对重要性比较)如表4所示。表1判断矩阵11/323151/21/51表2判断矩阵1l/31/5311/3531表3判断矩阵B2-C1271/2151/71/51表4判断矩阵13l/7l/311/97913、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标一般来讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。●求和法1）将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）：bij=aij/Σaij；2）将归一化的矩阵按行求和：ci=Σbij（i=1，2，3….n）；3）将ci归一化：得到特征向量W=（w

5、1，w2，…wn）T，wi=ci/Σci，W即为A的特征向量的近似值；4）求特征向量W对应的最大特征值：●求根法1）计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根；（i=1,2,…,n）2）将归一化，得到；W=（w1，w2，…wn）T即为A的特征向量的近似值；3）求特征向量W对应的最大特征值：(1)判断矩阵的特征根、特征向量与一致性检验①计算矩阵的特征向量。计算判断矩阵各行元素的乘积，并求其次方根，如，，类似地有，，。对向量规范化，有类似地有，。所求得的特征向量即为：②计算矩阵的特征根类似地可以得到，。按照公式计算判断矩阵最大特征根：③一致性检验。实际评价中评价者只能对A

6、进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错误。如，已判断C1比C2重要，C2比C3较重要，那么，C1应该比C3更重要。如果又判断C1比C3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。这就需要进行一致性检验。根据层次法原理，利用A的理论最大特征值λmax与n之差检验一致性。一致性指标：计算<0.1，，查同阶平均随机一致性指标（表5所示）知，（一般认为CI<0.1、CR<0.1时，判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较）。表5平均随机一致性指标阶数34567891011121314RI0.580.891.121.261.361.411.461.491.521.541.56

7、1.58(2)判断矩阵的特征根、特征向量与一致性检验类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵的特征根、特征向量与一致性检验如下：，，(3)判断矩阵的特征根、特征向量与一致性检验类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵刀：—C的特征根、特征向量与一致性检验如下：，，(4)判断矩阵的特征根、特征向量与一致性检验类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵的特征根、特征向量与一致性检验如下：，，4、层次总排序获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要素对总体的综合重要度。设二级共有m个要素c1,c2,…,cm，它们对总值的重要度为w1,w2,…,wm

8、；她的下一层次三级有p1