拉普拉斯变换的性质.ppt

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1、一、线性性质与相似性质二、延迟性质与位移性质三、微分性质四、积分性质五、周期函数的像函数六、卷积与卷积定理§9.2Laplace变换的性质1所涉及到的函数的Laplace在下面给出的基本性质中，且变换均假定存在，它们的增长指数均假定为c。对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等)的次序交换问题，均不另作说明。§9.2Laplace变换的性质2性质证明(略)一、线性性质与相似性质1.线性性质P216P2163解4解5令证明性质一、线性性质与相似性质2.相似性质(尺度性质)P2176二、延迟性质与位移性质1.延迟性质则对任一非负实数

2、有设当t<0时性质令证明P222P2227二、延迟性质与位移性质1.延迟性质则对任一非负实数有设当t<0时性质可见，在利用本性质求逆变换时应为：因此，本性质也可以直接表述为：注意在延迟性质中专门强调了当t<0时这一约定。8已知解方法一方法二两种方法为什么会得到不同的结果？根据延迟性质有方法二先平移再充零P222例9.12方法一先充零再平移9解由于根据延迟性质有设求例P223例9.13修改10证明(略)例如性质2.位移性质P223二、延迟性质与位移性质11因此当时，有三、微分性质性质证明由有即得1.导数的象函数▲P217P21712Lap

3、lace变换的这一性质非常重要，可用来求解微分方程(组)的初值问题。§9.4将专门介绍）（三、微分性质1.导数的象函数性质其中，应理解为一般地，有▲13解利用导数的象函数性质来求解本题以及有由故有P218例9.714由有证明三、微分性质2.象函数的导数性质一般地，有同理可得P21815根据象函数的导数性质有解已知P219例9.816根据线性性质以及象函数的导数性质有解已知P219例9.917根据位移性质有解已知再由象函数的导数性质有18四、积分性质1.积分的象函数性质证明令由微分性质有则且即得P219P21919四、积分性质1.积分的象

4、函数性质一般地，有20再由积分性质得根据微分性质有解已知21一般地，有四、积分性质2.象函数的积分性质证明(略)22根据象函数的积分性质有已知解即在上式中，如果令s=0，则有启示在Laplace变换及其性质中，如果取s为某些特定的值，就可以用来求一些函数的广义积分。利用拉氏变换计算广义积分P220例9.1023部分基本性质汇总线性性质相似性质延迟性质24微分性质积分性质部分基本性质汇总位移性质25证明记为其中，令即得性质五、周期函数的像函数P22326函数的周期为解故有P224例9.1427六、卷积与卷积定理1.卷积当时，如果函数满足：

5、按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指则有显然，由上式给出的卷积的仍然满足交换律、结合律以及分配律等性质。P22428解P224例9.1529六、卷积与卷积定理2.卷积定理定理证明左边=D(跳过?)30定理六、卷积与卷积定理2.卷积定理证明左边=令记为其中左边==右边。31故有解由于P225例9.1632利用Laplace变换计算广义积分附：在Laplace变换及其性质中，如果取s为某些特定的值，就可以用来求一些函数的广义积分。注意在使用这些公式时必须谨慎，必要时需要事先考察一下s的取值范围以及广义积分的存在性。P221注33由解得

6、利用Laplace变换计算广义积分附：P221例9.11(1)34已知解由积分性质有即得(返回)利用Laplace变换计算广义积分附：P221例9.11(2)35