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《如何用导数探讨函数图像的交点问题第四计 2.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、每周一计第四计-用导数探讨函数图象的交点问题运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考杏函数图象的交点个数问题。如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？例1已知函数幷兀丿二—v2+8x,g(x)=6lnx+ni(I)求用)在区间上的最大值力⑵;(II)是否存在实数加，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出加的取值范围；,若不存在,说明理由。解：(I)略(IDV函数尸7W的图彖与y=g(x)的图彖有且只有三个不同的交点，'x>0/.函数©(x)=g(
2、x)~f(x)=x2—8x+6lnx+m的图彖与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。・・1/、°62x~-8x4-62(x-1)(%-3)z八、:(P⑴=2x-8+-==(%>0),XXX0(%)随X变化如下表：X(0,1)1(1,3)3(3,+8)(P'(x)+0-0+(P(x)增极大值减极小值增・°・x极夫值=0(l)=J-8+m=m-7,x极小伯=倂(3)=9-24+6ln3+in=in-]-6ln3-l5*.•当x—O"时，0(x)f-00,当xT+QO时，(p(X)—>+00・•・要使cp(x)=0有三个不同的正实数根，必须且
3、只须(俨(兀)极大值=力_7〉0,：.70或仔(兀)极大值=m-7<0,即m>15-6In3或m<7时，函数)丿与y=g(x)的图象有且只有一个不同的交点(分析草图见图2和图3)o引申2：如果“有且只有三个不同的交点”变
4、为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后•面改为卩⑴极小值=m+6In3-15=0或0(x)极人值=加・7=0,即ni=15-6bi3或加=7时，函数y=f(x)^丿的图象有且只有两个不同的交点(分析草图见图4和图图4图5从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数y=f(x)的图象与函数)=曲)的图彖的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数(P(x)=f(x)~g(x)②求M(x)③研究函数°(x)的单调性和极值(必要时要研究函数图象端点的极限情况)④恫i出函数0(x)的草图，观察与x轴的交点悄况，列不等式⑤解不等式。解
5、题的关键是会用数形结合思想来研究问题。例2已知函数f(x)=x3+3ax-l,g(x)=f(x)-ax-5其屮f(X)是的f(x)的导函数。(I)对满足—15d51的一切d的值，都有g£)vO求实数x的取值范围；(II)设当实数加在什么范鬧内变化时，函数y=f(x)的图像与直线尸3只有一个公共点。解：(I)略(II)f(x)=x3-^3ax-l,,%1当m=0时，./W二的图象与一胡右◎钗塔=傘矗共点%1当mH0时，令h(x)=f(x)-3=-3nfx-4,h'(x)=3x2+3a=3x2-3m2丿随x变化如下表：X(-oo,-/n
6、)
7、-m(一m,m)m(
8、m
9、,+oo)h'(x)+0—0+h(x)增极大减极小增•••力(力极小值=/?(1加1丿=-2〃『1〃2
10、・4<・4又•：h(x)在(
11、血
12、,+8)上单调递增，当X—>4-00时，h(X)—>+oo•:当x>l加I时函数y=/?(x丿的图彖与x轴只有一个公共点。当xol加I时，恒有h(x)^h(-tn)由题意得h(-m)<0即2m2m-4<0解得加W(-迈,0)U(0,迈)综上，加的取值范围是(-迈，迈)f(分析草图见图6)当然，题目并不是千篇一律的，也有些变式，但是基木方法没有变化。例3已知.幷力是
13、二次函数，不等式/(X丿vO的解集是(0,5),且几工丿在区河卜1,4］上的最大值是120(I)求幷力的解析式;37(II)是否存在实数加，使得方程f(x)+—=0在区间(gn+1)内有且只有两个不等的实数根？若存x在，求出加的取值范围；若不存在，说明理由。解：(I)f(x)=2x2-IOx(ii程略)37(H)方程/'(a-)+—=0等价于方程2x3-10x2+37=0x设h(x)=2x3-10x2+37则h'(x)=6x2-20x=2x(3x-10)当xG(-ao,0)II寸，h'(x)>0,h(x)是增函数;当xe(0,—)H'J
14、',h'(x)<0fh(x)是减函数;当XG(—,+00)时,hf(x)>Ofh(x)是增函数。(见图7)•.*/?(3)=1>0,7z(—)=——<0,/?(4)=5>0,h(・2)=・19,h(・1)=
