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《导数探讨函数图像的交点问题 2.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、由2006年高考看如何用导数探讨函数图象的交点问题2006年高考数学导数命题的方向基木没变，主要从五个方血(①与切线有关的问题②函数的单调性和单调区间问题③函数的极值和最值问题④不等式证明问题⑤与函数的单调性、极值、最值有关的参数问题)考查了学生对导数的掌握水平。但是，2006年高考数学导数命题在方向基木没变的基础上，乂有所创新。福建理科卷第21题研究两个函数的交点个数问题，福建文科卷第19题研究分式方程的根的分布问题，湖南卷第19题研究函数的交点问题，四川卷第21题研究函数图象的交点个数问题。从以上试卷我们可
2、以发现导数命题创新的两个方面：一是研究对彖的多元化，rfl研究单一函数转向研究两个函数或多个函数，二是研究内容的多元化，由用导数研究函数的性质(单调性、最值、极值)转向运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方稈根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。试题“以能力立意”的意图表现明显，试题注重了创新、开放、探究性，以所学数学知识为基础，对数学问题进行深入探讨，从数学角度对问题进行探究。考杳了学生综合与灵活地应用所学的数学思想方法，进行独立的思考、探索和研究，创造性地解决问题的能力。如
3、何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？下面我们先看一看今年的高考题。例1(福建理科第21题)已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=61nx+m(I)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);(II)是否存在实数m，使得y二f(x)的图象与y=g(x)的图彖有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。解：(I)略(IDV函数y二f(x)的图象与y二g(x)的图象有且只有三个不同的交点，・••令f(x)=g(x)Ag(x)-f(x)=0Vx>0・•・函数(p(x)=g(x
4、)-f(x)=x2-8x+61nx+m的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。•••00)=2x-8+J2宀8卄6=2(x—1)(尢一3)。>°),XXX当xW(0,1)时，0(力〉0,0(0是增函数；当xE(l,3)时，0(兀)<0,0(兀)是减函数；当xW(3,+8)时，(p](x))0,卩(兀)是增函数;当x二1或x二3时，(p](x)=0o仅兀)极大值=讽1)=加—7,磁小但=仅3)=加+61n3—15・*/当X-*0+时,0(X)f—8,当X—>+8时,(P(X)—>H-OO・•・要使0(x)=o
5、有三个不同的正实数根，必须且只须极大值=加_7〉0,〔0(兀)极小值二加+6In3-15vO,/.70或0(x)极丿、值=旷7<0,即m>15-6In3或m<7时,函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只
6、有一个不同的交点(分析草图见图2和图3)o引申2：如果(II)屮“有且只有三个不同的交点”变为“有口只有两个不同的交点”怎么解答呢？前血相同，只需把后血改为0(x)极小怕=m+6Tn3-15=0或0(x)极灿=01-7二0,即m=15-6In3或m=7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点(分析草图见图4和图5)。从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数y二f(x)的图象与函数y二g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数°(x)=f(x)—g(x)②求导0⑴③研究函数0(x
7、)的单调性和极值(必要时要研究函数图彖端点的极限情况)④慚出函数0(x)的草图，观察与x轴的交点情况，列不等式⑤解不等式得解解题的关键是会用数形结合思想来研究问题。下面用这儿个步骤来完成2006年四川卷第21题。例2(四川卷第21题)已知函数f(x)=F+3ox—l,g(x)=fx)-ax-5,其屮f1(x)是的f(x)的导函数。(I)对满足-8、)略(TI)f(x)=f+3处一1,f(刈=3兀2-3加2%1当m=0时，/(x)=x3-l的图象与直线y=3只有一个公共点%1当加工0时，令(p(x)=f(x)-3=+3ax-4,0(无)二3兀'+3。二-3加'列表：X(—OO,—,n
9、)-m(-m,加)m(tn,+°o)000+0—0+(p(X)单调递增极大单调递减极小单调递增・•・0(x)极小值=(P(
10、加
11、)=-2m2网一4
