3、加_7〉0,0(x)极小值=m+61n3-15<0,所以存在实数皿使得函数y=f(x)与尸曲丿的图象有且只有三个不同的交点，加的取值范用为(7,15引申1:如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”怎么解答呢？前面相同,只需把后面改为0(兀)极小值=m+6In3-15>0或0(兀)极大值=m・7<0,即m>15-6In3或m<7吋，函数y二/U丿与的图象有且只有一个不同的交点(分析草图见图2和图3)。引申2：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把厉面改为0(无)极
4、小值=in+6In3-15=0或卩⑴极丿值=/n-7=0,即m=l5-6In3或ni=7时，函数y=f(x)^y=g(x)的图彖有且只有两个不同的交点(分析単图见图4和图图4图5从上题的解答我们可以看出，川导数来探讨函数y=f(x)的图象与两数尸曲丿的图象的交点问题，有以下儿个步骤：①构造函数(x)=fix)~^)②求导③研究劇②⑴的单调性和极值(必要吋要研究函数图彖端点的极限情况)④画出函数以切的草图，观察与x轴的交点情况，列不等式⑤解不等式。解题的关键是会用数形结合思想来研究问题。例2L1知函数f(x)=x+3ax-l,g(x
5、)=ff(x)-ax-5其屮f(x)是的./W的导函数。(I)对满足—lWdVl的一切d的值，都有gOJvO求实数x的取值范围；(II)设a=-fn当实数加在什么范围内变化时，函数,y=f(x)的图像与直线)=3只有一个公共点。解：(I)略(II)f(x)=x'+3ax-l,%1当m=0时,f(x)=x3-l的图象与碱対干貝看二傘尬共点%1当加H0时，令h(x)=f(x)-3=x3-3m2x-4,h'(x)=3x2+3a=3x2-3m2尔丿随兀变化如下表：X(_oo?-m
6、)一m(-m,m
7、)m(网,+00)hf(x)+0—0+
8、h(x)增极丿、减极小增/.h(x)^({=h(in)=-2ni2i-4<-4乂h(x)在(
9、m
10、,+co)上单调递增，当xT4-00时,h(x)—>+oo・•・当x>m吋函数丿的图彖与x轴只有一个公共点。例3己知几0是二次函数，不等式几v丿<0的解集是(0,5),且幷切在区间卜1,4］上的最大值是120(I)求/任丿的解析式;37(TT)是否存在实数加，使得方程/(x)+—=0在区问伽,加+/丿内有且只有两个不等的实数根？若存x在，求出加的収值范围；若不存在，说明理由。解：(I)f(x)=2x2-10x(ii@.
11、略)37(II)方程f(x)+—=0等价于方2xj-10x2+37=0x设h(x)=2x3-J0x2+37则hf(x)=6x2~20x=2x(3x-10)当兀w(-oo,0)时,h'(x)>0,/"x丿是增函数；当xe(0,—)吋，h，(x)<0,h(x)是减函数；当xg(—,+oo)n^,hf(x)>Ofh(x)是增函数。(见图7)Qh⑶=1>0,/z(—)=-—<0/(4)=5〉0,h(-2)=-19,h(-1)=25327.・.方程h(x)=0在区间(-2,-1),(3,—),(—,4)内分别有惟一实数根，而在区间(0,3)
12、和(4,+00)内没有实数根,所以存在惟一的白然数加=3,使得方程/W+—=0在区间内有且只有两个不同的实数根。X
