如何用导数探讨函数图像交点问题第四计 2

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1、每周一计第四计—用导数探讨函数图象的交点问题运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？例1已知函数f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。解：（Ⅰ）略（II）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，∵x>0∴函数(x)=g(x)－f(x)=－8x+6ln

2、x+m的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。∵=2x－8+随x变化如下表：x(0,1)1(1,3)3(3,+∞)’(x)+0-0+(x)增极大值减极小值增∴x极大值=(1)=1-8+m=m-7，x极小值=(3)=9-24+6ln3+m=m+6ln3-15∵当x→0+时，(x)→，当x时，(x)∴要使(x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须∴7

3、怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为m+6In3-15>0或m-7<0，即m>15-6In3或m<7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有一个不同的交点（分析草图见图2和图3）。引申2：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为m+6In3-15=0或m-7=0，即m=15-6In3或m=7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点（分析草图见图4和图5）。2图4图5从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数(x)=f(x)

4、－g(x)②求导③研究函数(x)的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）④画出函数(x)的草图，观察与x轴的交点情况，列不等式⑤解不等式。解题的关键是会用数形结合思想来研究问题。例2已知函数f(x)=x3+3ax-1，g(x)=f’(x)-ax-5其中是的f(x)的导函数。（Ⅰ）对满足的一切的值，都有g(x)<0求实数x的取值范围；（Ⅱ）设a=-m2，当实数m在什么范围内变化时，函数y＝f(x)的图像与直线y=3只有一个公共点。解：（Ⅰ）略（Ⅱ）f(x)=x3+3ax-1，①当时，f(x)=x3-1的图象与直线y=3只有一个公共点②当时，令h(x)=f(x)-3=x3-3m

5、2x-4，h’(x)=3x2+3a=3x2-3m2h(x)随x变化如下表：（h’(x)h(x)增极大减极小增∴h(x)极小值=h(

6、m

7、)=-2m2

8、m

9、-4<-4又∵h(x)在上单调递增,当x时，h(x)∴当x>

10、m

11、时函数y=h(x)的图象与x轴只有一个公共点。当x<-

12、m

13、时，恒有h(x)≤h(-

14、m

15、)由题意得h(-

16、m

17、)<0即2m2

18、m

19、-4<0解得综上，的取值范围是（分析草图见图6）图6当然，题目并不是千篇一律的，也有些变式，但是基本方法没有变化。例3已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12。（I）求f(x)的解析式；

20、（II）是否存在实数m，使得方程在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。解：（Ⅰ）f(x)=2x2-10x(过程略)（II）方程等价于方程2x3-10x2+37=0设h(x)=2x3-10x2+37则h’(x)=6x2-20x=2x(3x-10)当h’(x)>0,h(x)是增函数；2当时，h’(x)<0,h(x)是减函数；当时，h’(x)>0,h(x)是增函数。（见图7）图7h(-2)=-19，h(-1)=25方程h(x)=0在区间(-2,-1),内分别有惟一实数根，而在区间(0,3)和内没有实数根，所以存在惟一的自然数m=3，使得

21、方程在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根。2