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1、第一节解析函数一、复变函数的概念二、复变函数的极限与连续三、解析函数四、小结与思考一、复变函数的概念1.复变函数:2.单(多)值函数的定义:3.定义集合和函数值集合:4.复变函数与自变量之间的关系:例如,5.映射映射的定义:例1求函数在闭单位圆盘
2、z
3、1上的值域.解因为f(z)对应的两个二元实变函数为当z在闭单位圆盘
4、z
5、1上变化时，u在0与1之间变化，v为常数2.因此值域为w=2i到w=1+2i之间的线段.映射的实例:根据复数的乘法公式可知,以原点为焦点,开口向左的抛物线.(图中红色曲线)以原点为焦点,开口向右
6、的抛物线.(图中蓝色曲线)(如下页图)将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.6.反函数的定义:二、函数的极限与连续1.函数极限的定义:注意:注意：对任意的R>0,存在δ,使得
7、z-z0
8、<δ时，
9、f(z)
10、>R.对任意的ε>0,存在r,使得
11、z
12、>r时,对任意的R>0,存在r,使得
13、z
14、>r时，
15、f(z)
16、>R.2.极限计算的定理定理一说明定理二与实变函数的极限运算法则类似.2.函数连续的定义:定理三例如,定理四三、解析函数1.导数的定义:在定义中应注意:例２解例３解2.可导与连续:函数f(z)在z0处可
17、导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.３.解析函数的定义4.奇点的定义根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件练习B定理思考：设f(z),g(z)是整函数,下列命题哪些是正确的？f(z)g(z)是整函数f
18、(z)/g(z)是整函数f3(z)是整函数f(g(z))是整函数4f(z)+ig(z)是整函数f(1/z)是整函数四、解析的充分必要条件定理一可导的充分必要条件柯西介绍黎曼介绍证(1)必要性.(2)充分性.由于解析函数的判定方法:二、典型例题例4判定下列函数在何处可导,在何处解析:解不满足柯西－黎曼方程,四个偏导数均连续指数函数四个偏导数均连续例5解思考：求f(z)在z=1+i处的导数？例6解例7证例8证根据隐函数存在定理,根据柯西－黎曼方程得极坐标形式下可导的充分必要条件：若函数f(z)=u(r,)+iv(r,
19、),z=r(cos+isin),则f(z)在点z可导的充分必要条件是u,v在点(r,)处可微且满足极坐标下的C—R方程：且五、小结与思考理解复变函数极限、连续、导数和解析的概念;重点是奇点和可导、解析的关系以及判别可导、解析方法及求导方法.掌握并能灵活应用柯西—黎曼方程.思考题思考题答案反之不对.放映结束，按Esc退出.作业：P281(1)(2),2,5,6(3)(4)(5)Riemann黎曼资料Born:17Sept1826inBreselenz,Hanover(nowGermany)Died:20July1
20、866inSelasca,Italy
