由一错解题探究拉氏定理的延伸.pdf

《由一错解题探究拉氏定理的延伸.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、2014年第4期河北理科教学研究问题讨论由一错解题探究拉氏定理的延伸山东省宁阳第一中学陈新伟271400英国心理学家贝恩布说过，错误人皆有导致错误的主要观点：在导数几何意义之，但错误不加以利用则是不能原谅的．在数问题上，割线的极限是就是切线，切线的斜率学解题中，如果不珍视一道小题的错解，就有是函数在某点处的导数值，因为，：具有可能丧失对一个重要数学定理的进一步学习任意性，任意割线斜率可以用任意点导数来和运用，甚至还会失去学习研究数学的兴趣，代替．最终，把发现新问题，增长新知识的机遇错错解成因简析过．本文将从一题错解出发，

2、在错误中发现，拉格朗日(Lagrange)中值定理(以下简在探究中进一步完善，将拉格朗日定理作一称“拉氏定理”)个延伸．若函数f()满足如下条件：(1)在闭区1认识错解本源暴露思维间[口，b]上连续；(2)在开区间(凸，b)内可题目已知函数厂()=alnx+导；则在(口，b)内至少存在一点，使()去(口>o)，若对任意两个不等的正实数一i垒2=．￡!一b一凸。，戈：都有>2恒成立，则口的取值范围是()A．(0，1]B．(1，+∞)C．(0，1)D．[1，+。。)错解：>2甘()=旦1一2。+>2在(O，+o。)上恒成立，

3、即：n>(一+2x)。=1．选B．图1正解1：不妨2>1>0拉格朗日中值定理(以下简称“拉氏定>2铮)一，(X2)理”)主要阐述了：函数在区间D上连续可1一'‘导，那么区间两端点的割线斜率值等于该区<2x2—2戈1(戈1)+2x1

4、以后的应用中就会导致心有余悸，甚至因噎+∞)上恒成立．口≥1．废食，对定理的进一步探究势在必行!·13·2014年第4期河北理科教学研究问题讨论2深入问题探讨拨雾见云上单调递减时，9G．因此，当∈(口，b)，问题提出厂()≠0时，q=G．设曲线C：Y=厂()∈[口，b]，定义两引理2若函数厂(z)和满足如下条件：(1)厂()、厂()、()在闭区间[口，b]上个集合：G：{kI后：二，，2一1连续；(2)厂()、()、()在开区间(口，：∈[a，b]}，q={厂()lY=厂()，b)内可导，当存在车∈(a，b)，()=0，

5、若∈(0，b)}(其中函数厂()满足拉格朗日中厂()∈{厂()一，()}，则Gq，值定理的两个条件)；由拉氏定理可知：对于厂()簪G．Vg∈G，均q∈Q使得g=q，则g∈q，证明：当存在∈(0，b)，使得()=故GQ，那么qG何时成立?对于函数0时，若／()∈{厂()一，厂()}，不妨厂()，在=。处存在／(。)∈q，但在设／()=()，F()=／()一集合G中找不到与之对应的割线的斜率值，()≥0，则F()在[o，b]上单调递增，假那么(。)隹G的。有何特征呢?设。≤1<2≤b，必有F(1)

6、)和满足如下条件：最p：，(。)一厂()-厂()，反之厂()：可导，当∈(口，b)，()≠0时，q=G．证明：设函数厂()一时，÷未二<厂()．故当F(x)=厂()一存在∈(0，b)，()=0，若()∈()，∈(0，＼{／()一，厂()}，则()誊G．b)，∈[n，b]，——_一引理3若函数厂()和满足如下条件：·．．F()=()一(1)厂(戈)、()、()在闭区间[口，b]上连一()，．·．()

7、Dx』{X2续；(2)厂()、厂()、()在开区间(口，b)内图2f(x)在(a，b)=()当函数内的局部函数图像可导，当存在∈(口，b)，使得()：0时，()>O(∈若／(){厂()一，厂()}，则Q=G．(0，b))时，()在[0，b]上单调递增，令证明：当存在F()=()一厂()=0，则存在唯一．∈(口，b)，使得使得F()=O，那么肯定存在∈(一，()=0时，若)(n，b)(>0)时，()<0；当∈／()甓{／()。，(，+)(。，b)(>0)时，F()>0；厂()曲}，即：因为F()连续并且可导，(如图2)那必

8、存厂()<厂()．／＼{t在。，2∈[口，b]，使得F(戈1)=F(2)，<厂()～，如图即：，(-)一厂()=f(：)一厂()：，3，必然存在。∈：()，所以()∈G此(口，b)，使得()，一1‘’一＼√／=厂(0)在0的图3，，)的局部函数图像时，qG．反之，函数()<0在[口，b]．-14·2014年第4期河北