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1、拉氏变换习题解答习题一1．求下列函数的拉氏变换,并用查表的方法来验证结果.t−2t2(1)ft()=sin；(2)f()t=e；(3)f(t)=t；(4)f()t=sintcost；222(5)f()t=sinhkt；(6)f()tk=cosht；(7)f(t)=cost;(10)f()tt=cos.iitt−22−st+∞te−st+∞()−ee解(1)&⎡⎤⎣⎦f()t==∫∫sinedtdt0022iii⎡−−()st+∞+−(s+)t∞⎤iiee221+∞−−()st−(s+)t1⎢
2、
3、⎥=−∫()
4、ee22dt=−⎢00⎥2i02iii⎢−+ss−−⎥⎣22⎦⎡⎤iiss+−+11⎢⎥1122=−⎢⎥=2iii2i⎛⎞ii⎛⎞⎢⎥ss−+⎜⎟ss−+⎜⎟⎣⎦22⎝⎠22⎝⎠122==()Res>014122s+s+4+∞−+(2st)+∞+∞e
5、1−−2(tst−s+2)t0(2)&⎡⎤⎣⎦f()te==∫∫edtedt==>()Res−200−+(2ss)+2−st+∞22−−ste+∞1+∞st22−−st+∞+∞st(3)&⎡⎤⎣⎦f()tt==∫∫00edt−t
6、0+2tedt=−2te
7、0+
8、2∫0edtssss22+∞−st=−es
9、=()Re>0ss32t=0+∞−−st1+∞st1+∞−−(2sti)−+(s2i)t(4)&⎡⎤⎣⎦f()t==∫∫00sintcostedtsin2tedt=∫0⎡⎤⎣⎦ee−dt24i+∞+∞⎡−(s−2i)t−(s+2i)t⎤1⎢e
10、0e
11、0⎥1⎛11⎞1=−=⎜−⎟=()Res>04i⎢−()s−2i−()s+2i⎥4is−2is+2is2+4⎝⎠⎢⎣⎥⎦kt−kt+∞−−st+∞ee−st1+∞−−()skt+∞−(s+k)t(5)&⎡⎤⎣⎦f()t
12、k==∫∫00sinhtedtedt=(∫∫00edt−edt)22+∞+∞⎛⎞−−()skt−+(sk)t=−1⎜⎟ee
13、
14、0011⎛⎞1k=−⎜⎟=()Resk>max{,−k}⎜⎟−−−+222(sk)(sk)2⎝⎠sk−+sks−k⎝⎠-1-kt−kt+∞−−st+∞ee+st1+∞−−()skt+∞−+(sk)t(6)&⎡⎤⎣⎦f()tk==∫∫00coshtedtedt=(∫∫00edt+edt)22+∞+∞⎛⎞−−()skt−+(sk)t=+1⎜⎟ee
15、
16、0011⎛⎞1s=+⎜⎟=()Res>
17、max{k,−k}⎜⎟−−−+222(sk)(sk)2⎝⎠sk−+sks−k⎝⎠+∞1+∞2−−stst(7)&⎡⎤⎣⎦f()t=⋅∫∫costedt=()1+cos2tedt00221⎛+∞−st+∞−st⎞1⎛1s⎞s+2=⎜∫0edt+∫0cos2t⋅edt⎟=⎜+2⎟=2()Res>02⎝⎠2⎝ss+4⎠s(s+4)+∞1+∞2−−stst(8)&⎡⎤⎣⎦f()tt=⋅∫∫sinedt=()1−cos2tedt0021+∞−−st+∞st11⎛⎞s2=−(∫∫00edtcos2t⋅edt)=⎜⎟−=
18、22()Res>0224⎝⎠ss++s(s4)2．求下列函数的拉氏变换.⎧3,0≤t<2t<π⎪⎧3,2(1)f()t=⎨−1,2≤t<4;(2)f()t=⎨⎪⎩cost,t>π.⎩0,t≥4.22t(3)f()t=e+5δ(t).;(4)f(t)=δ(t)cost−u(t)sint.24−st−st+∞−st2−st4−st3e
19、3e
20、1−2s−4s02解（1）&[]f()t=∫∫f()tedt=3edt−∫edt=+=(3−4e+e)002−sssπ+∞+∞（2）&[]f()t=f()te−stdt=2
21、3e−stdt+cost⋅e−stdt∫0∫0∫π2πit−itπs3−st+∞e+e−st33−21+∞−(s−i)t−(s+i)t=e
22、2+∫πedt=−e+∫π(e+e)dt−st=02ss222+∞+∞⎡e−(s−i)te−(s+i)t⎤⎛ππ⎞πs⎢
23、π
24、π⎥πs−(s−i)2−(s+i)233−1t=2t=233−1⎜ee⎟=−e2+⎢+⎥=−e2+−⎜⎟ss2⎢−(s−i)−(s+i)⎥ss2⎜s−is+i⎟⎢⎣⎥⎦⎝⎠πsπs33−1−=−e2−e22sss+1+∞+∞+∞2t−st2t−s
25、t−st（3）&[]f()t=∫[]e+5δ(t)edt=∫eedt+5∫δ()tedt0001+∞−st1−st5s−9=+5∫δ()tedt=+5e
26、=s−2−∞s−2t=0s−2+∞+∞11s2−−stst−st（4）&⎡⎤f()t=⋅δ()tcost⋅edt−sintedt=cost⋅e
27、−=1−=⎣⎦∫∫−∞0t=0s2+1s2+1s2+13．设f(t)是以2π为周期的函数,且在一个周期内的表达式为⎧s
