一道中考数学题的另证.pdf

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1、道学题的另证北京教育学院朝阳分院(100026)白雪嶂北京朝阳教研中心(100028)郭璋‘近日阅读文⋯，受益匪浅，深受启发．通过．。DEF一180。一BEF一AEB认真研究该中考题，又得到多种另解，在此写一18O。一BAE一AEB，出来，与广大同学和老师交流．ABE一180。一BAE一AEB，’2012年大连市中考第25题：．．ABE一DEF(V)如图1，在梯形AB—说明(I)、(II)、(111)、(IV)、(V)这些CD中，AD／／BC，结论，在以下证明用到时直接写出．ABC一2BCD一2a，证法1构造全等点E在AD上，点F在直角三角形，如图3，连BC上，且B

2、EF一A．图1结BD，过点E作EH上(1)BF=(用含a的代数式BD于点H，EG_LCD的表示)；延长线于点G．图3(2)当线段AB===AD时，猜想线段EB与注意到EDB一EDG一口，。EF的数量关系，并证明你的猜想．．．EH—EG。解答如下：由(IV)式知EBH一EFG．。(1)。．BEF一A，．．Rt△EHBRt_△EGF．‘‘．．BEF一180。一2口．．．EB—EF．为了使(2)的证明过程简捷，我们先把在后点评事实上，满足题目条件的梯形是由面证明中需要多次用到的关键步骤给出证明，两个等腰三角形即△BAD和△BDC拼接而当再次用到这步骤的G、成的，且其中一个

3、等腰三角形△BAlD的底边结论时，直接写出即可．BD恰好是另一个等腰三角形△BDC的一腰；(2)猜想EB—EF．同时，我们可以发现AD是GDB的平分线，证明如图2，连结BD是ABC的平分线，正因为图形的这些特BD，延长CD到G．殊性，使其具有不少优秀的性质．·‘AB=AD．图2．证法2构造全等三角形／A一18O。一2a，如图4，连结BD，以。点E为圆心，ED长为半．．ABD一ADB一口(I)。．‘AD∥BC，径作弧，与CD的延长线’相交于点G，连结EG．．．ADG一BCD—a(11)‘则有EG—ED，．。BDC一180。一ADB一ADG图4EGD===EDG，一一1

4、80。一2a．注意到EDB一EDG—a，．．BDC一BEF=180。一2a．即BDF===BEF一180。一2a(IlI)用(1V)式知EBD一EFD．‘。．．△EBD垒△EFG(AAS)．．．B，E，D，F四点共圆．‘‘．．EB—EF．．．EBD一EFD(Ⅳ)网址：ZXSS．cbpt．cnki．neto33e电子邮箱：zxss@cinaj。urna-．net．cn’点评利用全等三角形证明对应线段相．．AGE一AEG一口．‘等是一种通性通法，证法2通过巧妙地作出．．／GED一180。一口，EG，构造m了与AEBD全等的△EFG，这也又FDE一180。一口，‘是本证明

5、的核心步骤，而其中的关键则是利用．．GED一FDE．。了“AAS”这一全等三角形的判定定理．整个证．．GE／／DF．明过程相当于把AEBD绕E进行逆时针旋转由(V)式知FED一ABE．’得到了△EFG．．．FED===EDG．。证法3构造等腰三角形．．EF／／GD．‘如图5．连结BD，以．．四边形GEFD为平行四边形，。直线ED为对称轴，作．．EF—GD—BE．AEDF的对称轴图形点评证法4与证法3思路一致，也是通△EDG，则有￡G—EF，过构造特殊的几何图形——平行四边形，最终EFD一EGD，达成目标的．其中的核心问题是利用旋转的方图5EDF一EDG．法，将AAB

6、E绕点A逆时针旋转，使边AB与注意到EDF一EDG一180。一a，AD重合，点E旋转到点G的位置；关键步骤EDB—a，则是利用了平行四边形的判定定理，即两组对‘．．E／X；4-EDB一180。一a+a一180。．边平行的四边形是平行边四形，至此就证明了’．．B，D，G三点共线．BE，EF与“中间量”GD的相等关系．又EBD一EFD===／EGD．证法5构造相似三角形即／EBG=EGB．如图7，以点F为顶点，以EF为一边，作即EB—EF．EFG=BEA，与AD点评通过构造等腰三角形，把本不在一的延长线相交于点G．由图7个几何图形中的两条线段“放到”一起，从而证(V)式

7、知ABE一得猜想，这也是证明线段相等的有效方法之／DEF．‘一．．．在上述证明过程中，核心步骤是利用对称EGF=BAE一180。一2a①的知识，作出了△EDF关于直线ED对称的由EDC一180。一a，△EDG，而关键步骤则是要证明B，D，G三点可知GDF一口②共线．由①和②得GFD一口，GD—GF．在△BAE和△EGF中，ABE一GEF，BEA一EFG．：＼‘．．△BAEooAEGF．．转中心，逆时针旋转。，．BFABAEAABE，使边AB与AD一EFGEGF罐重合，点E旋转到点G．ABGE的位置，连结EG，则有一一’。豢AE—AG，ABE=：=图6’．’AD—