与KP方程相联系的谱问题的非线性化.pdf

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1、NonlinearizationofassociatedwithSpectralProblemKPEquationsCandidate：MaLiY．uanSupervisor：ProfessorLiXueMeiSpeciality：SolitonandIntegrableSystemDepartmentofMathematics，ZhengzhouUniversityZhengzhou，450001，P．R．ChinaMay,2012‘；哥tj；t4、j一¨_二二_原创性声明㈣蚴一本人郑重声明：所呈

2、交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。学位论文作者：马圭媛日期：为J上年5月p日学位论文使用授权声明本人在导师指导下完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属郑州大学。根据郑州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权郑州

3、大学可以将本学位论文的全部或部分编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或者其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该学位论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为郑州大学。保密论文在解密后应遵守此规定。学位论文作者：马主媛日期：)o肛年岁月『oEt摘要本文从特征值问题(1．1)出发，通过应用非线性化方法，证明了与向量场{％)孤子族相联系的特征值问题在R2N上是完全可积的Hamilton系统。其中，通过应用母函数方法，证明了守恒积分的两两对合性和函数独立性，并

4、引进Abel-Jacobi坐标来对Hamilton流进行直化。此外，通过Lax对构造了方程族的无穷守恒律。关键词：非线性化，母函数，Hamilton系统，守恒积分，无穷守恒律AbstractInthispaper，startingwiththeeigenvalueproblem(1．1)，thespectralproblemrelatedwiththevectorfield{％)isturnedintoacompletelyintegrableHamiltonsystemonR2Ⅳ，withtheh

5、elpofnonlineaxizationapproach．Inthisprocess，accordingtothegeneratingfunctionapproach，theinvolutivityandthefunctionalindependenceoftheconservedintegralsaxeproved，andtheHamiltonianflowsarestraightenedbyintroducingtheAbel-JacobieoordNnates．Furthermore，con

6、structinfiniteconservationlawsofequationsbymeansofLaxpair．Keywords：nonlineaxization，generatingfunction，Hamiltonsystem，conservedintegral，infiniteconservationlaws＼；■鬟埯∥，目录§0引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1§1Lenard序列与孤子族⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．3§2特征值问题的非线性化⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

7、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9§3守恒积分的对合性⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．⋯⋯⋯⋯13§4椭圆坐标与函数独立性⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．16§5多项式积分风⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．20§6通过LaX对构造无穷守恒律⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．24参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．26致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯28§0引言在自然界中，完美的线性系统是很少见的，只是一些个例。大部分都是非线性系统，非线性系统才是大多数事物的普遍特性

8、，正是非线性才使世界呈现出无限的多样性，给整个宇宙的发展和进化提供了可能性。这样，就形成了一门研究非线性现象共性的基础学科一非线性科学。非线性科学贯穿着各个学科的各个方面，成为当代科学研究的前沿领域。二十世纪中期以来，随着孤子理论的兴起，人们发现为数众多的非线性方程的孤子解及无穷守恒律，因而它们是无穷维可积系统。在孤子理论的发展过程中，多维孤子方程逐渐成为孤子理论中的热点问题，但由于它们的多维性和高度非线性性，很难用直接的方法来求解，因此人们转而试图从众多的无穷维可积