关于一道探究题的讨论.doc

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1、关于一道探究题的讨论义务教育课程标准试验教科书八年级上册第131页“探究”，如图。耍在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气。泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管道最短？你可以在L上找几个点试一试，能发现什么规律？一般地的思路是按下面的方法来解。解：如图1,作点A关于直线L的对称点A，,连接A与直线L交于点P,连接"，则点P就是所求的点，即PA+PB最短。理由如下：在直线L上任取除点P以外的一点“，连接P‘A，、P，B、PA,TA、N关于直线L对称,・・・P‘A二P‘A',PA二PA'在

2、三角形ALA'X中，卩'A'+LB>AZB,即卩'A'+LB>PA+PB故P是直线L上到A、B两点距离之和最短的唯一点。本题主要考察了学生对轴对称和三角形三边之间关系的掌握情况，是一个比较典型的题冃。因此，有些参考资料和试卷常常把上面的问题略加改动，而用来检验学生对轴对称和三角形三边之间关系的掌握情况。在八年级学习完了《勾股定理》之后，单元检测题的最后一个题，就有这样的一个题：图2,A、B两个集镇在河道L的同侧，A到河道的距离AC二10千米，B到河道的距离是BD二30千米，且CD=30千米。现在要在

3、河道L上建一个自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河边L上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？能够掌握课本屮的“探究”和勾股定理的同学，不难想到下述解题过程。解：延长AC到A',使A'OAC,过A'作AE〃CD交BD的延长线于点E,连接A'B,交CD于M。・・・BE二BD+DE二40,A'E二CD二30由勾股定理得AB=50o・•・铺设水管的总费用为50X3=150（万元）。相信很多人看到这个解题过程都有不谋而合的感觉，并且也是按这个步骤来进行批阅

4、和给学生讲解的。对于此题，这种做法是缺误的，理由是，铺设水管的路线应当是由C-A-Bo为什么出现这种结果？不妨看下面的解题过程：通过以上两种解法的比较，不难发现第二种铺设方法要比第一中铺设方法的费用要少。为什么会出现那这种情况？原因在于课本中的题目有“分别”二字,只能通过对称图形找出点卩的位置，这时才能使输气管线最短，而木例中没有“分别”二字，就应用数学分类讨论思想，可能是通过轴对称图形找出点P的位置，也可以是通过P点作直线L的垂线段找点P的位置，这时通过分类讨论才知道点P位置确定在哪里才使得管道长

5、度最短。由此可见在做此类题目时一定要审题不是所有的最短线路都是作対称点来解决。同时有些练习题或考试题又高于课本，它的命题意图是打破学生已有的思维模型定势，让学生产生认知冲突，通过具体的计算和比较而得出结论。在解答本题过程中可以充分体验感受从特殊到一般的一般性数学方法由此可见同学们在学习时要重视教科书屮的例题、习题要对其精心研究挖掘出它们的内在功能；同时要采用改变题型引伸结论增强或减弱条件变换题设、结论等形式学习，最大限度地发挥课本的作用。