例析圆中“弦长公式”的应用.doc

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1、例析圆中“弦长公式”的应用当直线和圆相交时，得一个弦长（设为），根据圆的图形几何性质：半弦长、半径，弦心距构成直角三角形：．在解答有关弦长问题时，若注意使用圆中这一特有的“弦长公式”，会突出几何直观性，减少运算量，有事半功倍的作用，例析如下：一、求公共弦长例1已知圆和圆，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．　　分析：因为两个圆的交点坐标同时满足两个圆的方程，联立方程组求得交点可得直线方程，但若应用圆系方程求弦所在的直线方程更为简洁，再利用弦长公式求出公共弦长．　　解：如图1，设两圆的交点为，则两点的坐标是方程组的解，两个式子相减，得．由于两点的坐标都满足此方程，故为

2、两圆的公共弦所在的直线方程．易知圆的圆心为，半径为．又到直线的距离为，．二、求直线的方程例2　为圆内一点，求过点的最短的弦所在直线的方程．　　解析：过点的直线有无数条，如图2，设其中一条与圆交于两点，若半径为，圆心到直线的距离为，　　则根据圆的几何性质得到，　　则根据圆的几何性质得到，　　由于半径是定值，弦最短时，应当是距离最大，只有当为弦中点时，才满足题意．　　由圆变形，得，　　圆心为，，，．　　故所求直线方程为．例3　求过点且被圆截得的弦长为的弦所在的直线方程．解析：由题意易知，直线斜率存在且，设过点的直线方程为，圆心到直线的距离，半径为，由弦长公式，．　　解得或．

3、　　故所求直线方程为或．一、求圆的方程例4已知圆的半径为，圆心在直线上，圆被直线截得的弦长为，求圆的方程．　　解析：根据图形的几何性质：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形且，　　则，　　又弦心距等于圆心到直线的距离，　　设圆心坐标为，　　．　　又知，故；或．　　所求圆的方程为或．