2010年考研数学一真题答案解析试题.doc

《2010年考研数学一真题答案解析试题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、参考解答一、选择题(1)C(2)B(3)D(4)D(5)A(6)D(7)C(8)A二、填空题(9)0(10)-4π(11)0(12)(13)6(14)2三、解答题(15)[分析]直接利用二阶常系数线性微分方程的求解方法．解：由方程y"-3y'+2y=0的特征方程λ2-3λ+2=0解得特征根λ1=1，λ2=2，所以方程y"-3y'+2y=0的通解为．设y"-3y'+2y=2xex的特解为y*=x(ax+b)ex，则(y*)'=(ax2+2ax+bx+b)ex，(y*)"=(ax2+4ax+bx+2a+2b)ex．代入原方程，解得a=-

2、1，b=-2，故特解为：y*=x(-X-2)ex，所以原方程的通解为(16)[分析]求变限积分f(x)的一阶导数，利用其符号判断极值并求单调区间．解：令f'(x)=0，得x=0，x=±1．因为当x＞1时，f'(x)＞0；当0＜x＜1时，f'(x)＜0；当-1＜z＜0时，f'(x)＞0；当x＜-1时，f'(x)＜0．所以f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)，(0，1)；f(x)的单调递增区问为(-1，0)，(1，+∞)．极小值为f(1)=f(-1)=0，极大值为[评注]也可用二阶导数的符号判断极值点，此题属基本题型．(17)[分析]

3、对(Ⅰ)比较被积函数的大小，对(Ⅱ)用分部积分法计算积,再用夹逼定理求极限．解：(Ⅰ)当0≤t≤1时，0≤ln(1+t)≤t，故

4、lnt

5、[ln(1+t)]n≤

6、lnt

7、tn．[评注]若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息．(18)[分析]用比值判别法确定收敛区问，进而确定收敛域；利用幂级数的逐项求导求和函数．解：因为，所以当x2＜1,即-1＜x＜1时，原幂级数绝对收敛.当x=±1时，级数为，由莱布尼兹判别法显然收敛，故原幂级数的收敛域为[-1,1]．由于f(0)=0，所以从而幂级数的收敛域为[一1，1]，和函数为xarctan

8、x，x∈[-1，1]．[评注]对于缺项的幂级数，一般用比值判别法确定收敛区间；本题也可令t=x2转化为不缺项的幂级数．(19)[分析]本题考查了空间曲线的计算与投影，第一型曲面积分的计算等多个知识点，属综合题．解：(1)求轨迹C．令F(x，y，z)=x2+y2+z2-yz-1，故动点P(x，y，z)的切平面的法向量为={2x，2y-z，2z-y}．由切平面垂直xOy，得2z-y=0．注意到P在椭球面S：x2+y2+z2-yz=1上。故所求曲线C的方程为：(2)计算曲面积分．因为曲线C在xOy平面的投影为，又方程x2+y2+z2-yz

9、=1两边分别对x，y求导得[评注]对于第一类曲面积分注意利用曲面的方程化简被积函数表达式．(20)[分析]本题考查方程组解的判定与通解的求法．由非齐次线性方程组存在2个不同解知对应齐次线性方程组有非零解，而日一非齐次线性方程组有无穷多解．解：(Ⅰ)解法一由线性方程组Ax=b存在2个不同解，得λ=-1，a=-2．解法二由线性方程组Ax=b有2个不同的解，知，因此方程组的系数行列式得λ=1或-1；而当λ=1时，，此时，Ax=b无解，所以λ=-1．由得a=-2．(Ⅱ)当λ=-1，a=-2时，(21)[分析]由二次型在正交变换下的标准形立即

10、可得对应矩阵的特征值，由Q的列向量为特征向量即得一个特征向量，再由实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交可得另外两个线性无关的特征向量．解：(Ⅰ)由于二次型在正交变换x=Qy下的标准形为，可知A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=0，且Q的第3列即为A的对应于λ3=0的特征向量．设A的对应于特征值λ1=λ2=1的特征向量为α=(x1，x2，x3)T，由实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交，有αTα3=0，即x1+x3=0，解得A的对应于λ1=λ2=1的线性无关且正交的两个特征向量：α1=(0，1，0)T，α2=(-1，0，

11、1)T．显然α1，α2与α3是正交的，且α1，α3是单位向量．单位化α2得(Ⅱ)由A的特征值为1，1，0，知A+E的特征值为2，2，1，即A+E的特征值全大于零．又A+E显然是实对称矩阵，故A+E是正定矩阵．[评注]本题本质上是二次型化标准形的一个逆向问题．(22)[分析]本题考查二维联合密度的性质与条件密度的计算，而求条件密度的本质还是求边缘密度．解：由概率密度的性质有因为X的边缘概率密度为因此条件概率密度[评注]本题要充分地利用积分(23)解：由已知得N1～B(n，1-θ)，N2～B(n，θ-θ2)，N3～B(n，θ2)，由E(

12、T)=θ，得于是所以T的方差