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1、合情推理与学生能力的培养新教材中安排了数学推理内容，分为合情推理和演绎推理。合情推理包括归纳推理与类比推理，应用合情推理可发现新结论，获取新方法。学好了合情推理，可提高学生的观察，归纳，猜想与发现能力。下面我们对合情推理教学内容的做些探讨：%1.应用归纳推理编写数学题三角函数是周期函数，以三角函数为原型，应用归纳推理，可编造周期函数题。下面以此谈谈归纳推理在编题方面的应用。在此过程屮，学生既可体会习题的编写过程，又可从屮获取解题方法，加深对周期函数的理解与认识。1.应用三角函数诱导公式编写周期函数题.设/(x)=sinx,则/(%4-^-)=-/(%),且/(兀)是以龙的2倍为周期的周期函数。
2、可猜想：例1・函数f(x)满足对a>0和定义域的任意的x,都有f(x+a)=・f(x)成立,则f(x)以2“为周期.证明：f(x+2a)=-f(x+a)=-[-f(x)]=f(x)・・・f(x)以2a为周期.设/(x)=tanx,!HiJtan(x+—)=——,且y=tanx的周期是兰的2倍。可猜想：2tanx2例2.函数f(x)满足对a>0和定义域的任意的x,都有f(x+a)=1—成立，则f(x)/(x)以4a为周期.证明：•.•f(x+4a)=--==/W/(x+2d)__IfMAf(x)以4a为周期.2.应用两角和三角函数公式编写周期函数题设/(x)=tanx,由tan(x+—)=1+t
3、dnA和y=的周期是兰的4倍，可猜想：41-tanx4例3.函数f(x)满足对a>0和定义域的任意的x,都有f(x+a)=J；：：成立，则f(x)以4a为周期.),1+/U)证明:•/f(x+2a)=l+/(X+6/)_l-/(x)___1—/(x+d)-]1+/(力一/(x)1-/U)f(x+4a)=f(x+2a)fM设心皿,由g+新壮瓷和…咔的周期是彳的3倍,可得:例3.数列｛%｝屮，％工±巧，且°曲竺，则数列仏｝以3为周期.1-如此题结论成立，证明略。1.应用三角函数对称性编造周期函数题设/(x)=sinx,由/(x)是奇函数，图象关于点0,0)对称，周期为2(龙-0),可猜想：例5•若
4、函数y=f(x)的图象关于点A(8,0)和B(b,0)(aHb)对称，则f(x)以2(b-a)为周期.证明:Iy=f(x)的图象关于点A(a,0),B(b,0)都对称,•I对定义域内的任意x,都有f(x)=-f(2a-x),f(x)=-f(2b-x).Af(x)=-f(2a-x)=-｛-f[2b-(2a-x)]｝=f[2(b-a)+x].Af(x)以2(b-8)为周期.设/(x)=cosx，而/(x)是偶函数，图象关于点X=71对称,且周期为2(兀一0)•可猜想：例6.若函数y=f(x)的图象关于直线x=a和x=b(aHb)都对称，则f(x)以2(b-a)为周期。证明：Ty二f(x)的图象关于
5、直线x二a和x二b都对称对定义域内的任意x,都有f(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x).f(x)=f(2a-x)=f[2b-(2a-x)]=f[2(b-a)+x].・・・f(x)以2(bp)为周期.设/(x)=sinx,而门兀)是奇函数和图象关于直线x=-对称,且周期为4(--0),可猜想：例7.若函数y=f(x)的图象关于点B(b,0)和直线x=a都对称，则f(x)以4(b-a.)为周期。证明：Ty二f(x)的图象关于直线x二d对称，.If(x)二f(2a-x).又Vy=f(x)的图象关于点B(b,0)对称,・・.f(x)二-f(2b-x)f(x)=f(2a~x)=-f[2b-(
6、2a~x)]=-f[2a-(2b-2a+x)]=-f(4a-2b~x)=-｛-f[2b-(4a-2b~x)]｝二f[4(b-a)+x].:.f(x)以4(b-a)为周期。%1.应用类比推理推广数学题应用类比推理可能对数学题进行推广，下面说说用类比推理求解高考题。例8.(2002年丄海春季高考题)如图2,从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点A/?,与点N“则三角形面积之比逬十誅箫如图3,若从戯所作的不在同一平面内的三条射线0卩、00和0/?上，分别有点片、P"Q图3点、Q、@和点&、R"则类似结论为把空间三棱锥的体积与平面三角形的面积作类比，则不难得到:V。一片财_0P、00OR、证明：设
7、直线0片与面0©尺所成角为则%讪二％十彳观必OPlsina=--OPl0Qx・0&・sinZ0O&-sin^z.匕丿一曲吕=OP、00OR、^O-P2Q2R2OP?°。20R2例9.（2005年广东高考题）设同一平而内有〃条直线（/1>3）,其小有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点。若用/（几）表示这〃条直线交点的个数，则/（4）=;当〃〉411寸，f（n）=.（用”表示）例9能够推广
