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1、合情推理与学生能力的培养新教材中安排了数学推理内容，分为合情推理和演绎推理。合情推理包括归纳推理与类比推理，应用合情推理可发现新结论，获取新方法。学好了合情推理，可提高学生的观察，归纳，猜想与发现能力。下面我们对合情推理教学内容的做些探讨：一．应用归纳推理编写数学题三角函数是周期函数，以三角函数为原型，应用归纳推理，可编造周期函数题。下面以此谈谈归纳推理在编题方面的应用。在此过程中，学生既可体会习题的编写过程，又可从中获取解题方法，加深对周期函数的理解与认识。1．应用三角函数诱导公式编写周期函数题.设，则，且是以的2倍为周期的周
2、期函数。可猜想：例1．函数f(x)满足对a>0和定义域的任意的x,都有f(x+a)=-f(x)成立,则f(x)以2a为周期.证明:∵f(x+2a)=-f(x+a)=-[-f(x)]=f(x)∴f(x)以2a为周期.设，则，且的周期是的2倍。可猜想：例2．函数f(x)满足对a>0和定义域的任意的x,都有f(x+a)=成立,则f(x)以4a为周期.证明:∵f(x+4a)=∴f(x)以4a为周期.2．应用两角和三角函数公式编写周期函数题设，由和的周期是的4倍，可猜想：例3．函数f(x)满足对a>0和定义域的任意的x,都有f(x+a)=
3、成立,则f(x)以4a为周期.证明:∵f(x+2a)=，f(x+4a)=6∴f(x)以4a为周期.设，由和的周期是的3倍，可得：例3．数列中，且则数列以3为周期.此题结论成立，证明略。3．应用三角函数对称性编造周期函数题设，由是奇函数，图象关于点对称，周期为2（，可猜想：例5．若函数y=f(x)的图象关于点A(a,0)和B(b,0)(a≠b)对称,则f(x)以2（b-a)为周期.证明:∵y=f(x)的图象关于点A(a,0),B(b,0)都对称,∴对定义域内的任意x，都有f(x)=-f(2a-x),f(x)=-f(2b-x).∴f
4、(x)=-f(2a-x)=-{-f[2b-(2a-x)]}=f[2(b-a)+x].∴f(x)以2(b-a)为周期.设，而是偶函数,图象关于点对称，且周期为2（.可猜想：例6．若函数y=f(x)的图象关于直线x=a和x=b(a≠b)都对称，则f(x)以2(b-a)为周期。证明：∵y=f(x)的图象关于直线x=a和x=b都对称∴对定义域内的任意x,都有f(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x).∴f(x)=f(2a-x)=f[2b-(2a-x)]=f[2(b-a)+x].∴f(x)以2(b-a)为周期.设，而是奇函数和图象
5、关于直线对称，且周期为4（，可猜想：例7．若函数y=f(x)的图象关于点B(b,0)和直线x=a都对称，则f(x)以4(b-a)为周期。证明：∵y=f(x)的图象关于直线x=a对称，∴f(x)=f(2a-x).又∵y=f(x)的图象关于点B(b,0)对称，∴f(x)=-f(2b-x)∴(x)=f(2a-x)=-f[2b-(2a-x)]=-f[2a-(2b-2a+x)]=-f(4a-2b-x)=-{-f[2b-(4a-2b-x)]}=f[4(b-a)+x].∴f(x)以4(b-a)为周期。二．应用类比推理推广数学题应用类比推理可能
6、对数学题进行推广，下面说说用类比推理求解高考题。例8.（2002年上海春季高考题）如图2，从点6所作的两条射线、上分别有点、与点、，则三角形面积之比。如图3，若从点所作的不在同一平面内的三条射线、和上，分别有点、，点、和点、，则类似结论为______________________.把空间三棱锥的体积与平面三角形的面积作类比，则不难得到：证明：设直线与面所成角为，则同理：例9.（2005年广东高考题）设同一平面内有条直线（其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点。若用表示这条直线交点的个数，则当时，（用表示）例9能够
7、推广的关键是只有两条直线不相交，且这两条直线与其它直线都相交，因此，增加相互平行的直线的条数和平行线的组数，可得例9推广命题：例10．设同一平面内有组平行直线（每组平行线的条数分别为任取其中一条直线，则它与其余各组平行线中的每一条都相交，且任意三条不共点。若用表示这组直线交点的个数，则…+…+…。证明：第1组平行线的每一条与其余各组平行线的交点数为…，条与其余组直线的交点数为…+；同理，第2组的条直线与第3、4、…、组平行线的交点数为；……；第组的条直线与第、组平行线的交点数为；第组平行线与第组的交点数为。6………例10成立，特
8、别地，取…=则有…，此为例9的答案。三．归纳推理在解题方面的应用如果问题的一个特例已经解决，可应用归纳推理从特例的解法中寻求问题解法。以高中新课标数学教科书(人教社A版必修5)，第69页6题为例，做以说明。例11．已知数列{}中,(1),对于这个数列的通项公式作
