高等代数【北大版】9.4.ppt

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1、§2标准正交基§3同构§4正交变换§1定义与基本性质§6对称矩阵的标准形§8酉空间介绍§7向量到子空间的距离─最小二乘法小结与习题第九章欧氏空间§5子空间一、一般欧氏空间中的正交变换§9.4正交变换二、n维欧氏空间中的正交变换一、一般欧氏空间中的正交变换1.定义即，欧氏空间V的线性变换如果保持向量的内积不变，则称为正交变换.注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度不变的正交变换的推广.2.欧氏空间中的正交变换的刻划下述命题是等价的：（定理4）设　是欧氏空间V的一个线性变换.3）保持向量间的距离不变，即2）保持向量长度不变，即1）是

2、正交变换；证明：首先证明1)与2)等价．即，两边开方得，若　是正交变换，则有，(1)(2)若　保持向量长度不变，则对把(3)展开得，再由(1)(2)即得，(3)是正交变换．再证明2)与3)等价．根据２）故3）成立.若则有，即，故2）成立.二、维欧氏空间中的正交变换1.维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基不变的线性变换．是V的标准正交基，则也是V的标准正交基.1).若是维欧氏空间V的正交变换，事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质即有，2).若线性变换使V的标准正交基变成变换．标准正交基　，则为V的正交证明：任取　　　　设由　为标

3、准正交基，有故是正交变换．又由于　　　　　　　　　为标准正交基，得2.维欧氏空间V中的线性变换　是正交变换在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵．设为V的标准正交基，且证明：的标准正交基，当是正交变换时，由1知，也是V而由标准正交基到标准正交基　　　　　　的过渡矩阵是正交矩阵.设为V的标准正交基，且再由1即得　为正交变换．由于当A是正交矩阵时，也是V的即，标准正交基，所以，A是正交矩阵．1）正交变换的逆变换是正交变换；2）正交变换的乘积还是正交变换．3.欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射．因而有，（由同构的对称性可得之）（由同构的

4、传递性可得之）4.维欧氏空间中正交变换的分类：设　维欧氏空间V中的线性变换　在标准正交基1）如果　则称　为第一类的（旋转）;2）如果　则称　为第二类的．下的矩阵是正交矩阵A，则例、在欧氏空间中任取一组标准正交基定义线性变换　为：则　为第二类的正交变换，也称之为镜面反射．