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《数学分析同步辅导及习题全解(华东师大第三版).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第一章!!实数集与函数内容提要一!实数!!"实数包括有理数和无理数!有理数可用分数"!""#为互质整数##"#$表示#也可用有限十#进小数或无限十进循环小数表示!!$是首先遇到的无理数#它与古希腊时期所发现的不可公度线段理论有直接联系#且可以表示为无限十进不循环小数!实数的无限十进小数表示在人类实践活动中被普遍采用#我们是由无限十进小数表示出发来阐述实数理论的!$"若$%%#%%!%$&%&&为非负实数#称有理数$&%%#%%!%$&%&为实数$的&位不足近似#而有理数!$&%$&&&!#称为$的&位过
2、剩近似#&%##!#$#&!’"在数学分析课程中不等式占有重要的地位#在后继课程中#某些不等式可以成为某个研究方向的基础!数学归纳法是证明某些不等式的重要工具!二!数集"确界原理!"邻域是数学分析中重要的基本概念!某点的邻域是与该点靠近的数的集合#它是描述极限概念的基本工具!在无限区间记号!()#%’#!()#%$#(%#&)$#!%#&)$#!()#&)$中出现的()与&)仅是常用的记号#它们并不表示具体的数!在数学分析课程范围内#不要把&)#()#)当作数来运算!%!%!!数学分析同步辅导及习题全解
3、#上册$$"有界集和无界集是本章中关键的概念!要熟练掌握验证某个数集’是有界集或无界集的方法#其中重要的是证明数(不是数集’的上界!或下界$的方法!’"确界是数学分析的基础严格化中的重要的概念!上!下$确界是最大!小$数在无限数集情况下的推广!确界概念有两种等价的叙述方法#以上确界为例)设’是)中一个数集#若数!满足!!$(!!$对一切$#’#有$$!#则!是’的上界*’)!"$对任意"%!#存在$##’#使得$#&"#则!又是’的最小上界!或!$$(!!$对一切$#’#有$$!#则!是’的上界*’)!
4、"$对任意#&##存在$##’#使得$#&!(##则!又是’的最小上界!这两种定义是等价的!!$$中的!(#相当于!!$中的"!在上述定义中可以限定#%###其中##为充分小的正数!定义!$$在某些证明题中使用起来更方便些!*"确界原理)设’是非空数集#若’有上界#则’必有上确界*若’有下界#则’必有下确界!确界原理是实数系完备性的几个等价定理中的一个!三!函数及其性质!"邻域!!$*!%#$$%!%($#%&$$称为%的$邻域#其中$&#!!$$*+!%*$$%!%($#%$*!%#%&$$%+$+#
5、%+$(%+%$,称为%的空心$邻域#其中$&#!!’$*+!%$%!%#%&,$和*+!%$%!%(,#%$分别称为%的右邻域和左邻域#其中,&#!&($"确界设给定数集’!!!$上确界!若存在数!#满足!$!$$!#,$#’*$$,$%!#都存在$##’#使$#&$#则称!为’的上确界#记为!%+,-$!$#’!$$下确界!若存在数%#满足!$$-%#,$#’*$$,&&%#都存在-##’#使-#%&#则称%为’的下确界#记为!%./0$!$#’!’$确界原理!#非空有上!下$界的数集#必有上!下$
6、确界!$若数集有上!下$确界#则上!下$确界一定是惟一的!’"函数!!$函数定义给定两个非空实数集.和(#若有一个对应法则,#使.内每一个数$#都有惟一的一个数-#(与它对应#则称,是定义在.上的一个函数#记为-%,!$$#$#.#并称.为函数的定义域#称,!.$%+-+-%,!$$#$#.,!.($为函数的值域!!$$几个重要的函数#分段函数函数在其定义域的不同部分用不同公式表达的这类函数#常称为分段函数!$符号函数%"%第一章!实数集与函数!#!!$&#(+1/!$$%##$%#’)(!#$%#%狄
7、利克雷函数!#当$为有理数.!$$%+##当$为无理数&黎曼函数!""(#当$%#"###0&为既约分数)!/$%###’)##当$%##!和!##!$中的无理数’复合函数/-%,!1!$$$#$#2其中-%,!3$#3#.#3%1!$$#$#2#2/%+$+1!$$#.,&2#2"4!’$反函数已知函数3%,!$$#$#.!若对,-##,!.$#在.中有且只有一个值$##使得,!$#$%(!!-$#-#,!.$#称这个函数,(!-##则按此对应法则得到一个函数$%,2,!.$0.为,的反函数!!*$初
8、等函数#基本初等函数!常量函数"幂函数"指数函数"对数函数"三角函数"反三角函数这六类函数称为基本初等函数!$初等函数!由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数#统称为初等函数!%凡不是初等函数的函数#都称为非初等函数!*"有界性设-%,!$$#$#.!!$若存在数(#使,!$$$(#,$#.#则称,是.上的有上界的函数!!$$若存在数5#使,!$$-5#,$#.#则称,是.上的有下界的函数!!’$若存在正数6#使+,!$$+
