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《数学分析下册华东师大第三版课后习题答案.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、第十二章!!数项级数内容提要一!定义!给定一个数列!!""#对它的各项依次用$!%号连接起来的表示式!"!!#!&&!"!&&!称为数项级数或无穷级数’也常简称级数(#其中!"称数项级数!的通项#数项级数!记作$"!"或"!"#"$"二!级数收敛的柯西准则级数!收敛的充要条件是)任给!#%#总存在自然数%#使得当&#%和任意的自然数’#都有$!&!"!!&!#!&!!&!’$%!反之#级数!发散的充要条件是)存在某正数!%#对任何自然数%#都存在&%#%和自然数’%#有$!&!"!!&!#!&!!&!’$&!%%%%由此易得)若级数
2、!收敛#则&’(*)+*,)’!$三!正项级数收敛性的判别方法"-正项级数!"!!#!&!!"!&&收敛的充要条件是)部分和数列!(""有界#即存在某正数)#对一切自然数"有("%)##-比较判别法.-比较原则的极限形式/-达朗贝尔判别法’或称比较判别法(0-比较判别法的极限形式*!*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#1-柯西判别法’或称根式判别法(2-根式判别法的极限形式3-积分判别法4-拉贝判别法"%-拉贝判别法的极限形式四!一般项级数收敛性的判别方法"-级数"$!"$收敛#则级数"!"绝对收敛#若"!"收敛#"$!"$发散
3、#称级数"!"为条件收敛##-莱布尼兹判别法.-阿贝尔判别法/-狄利克雷判别法典型例题与解题技巧$$$例!%!设"*"#收敛#证明)"*"收敛’*"#%(#"$""$#!"&)"分析!本题主要考查正项级数的判敛#要求灵活运用正项级数的几种判敛法#证明!%%*"%"*"#!"#!"&)"#’"&)"($$$易知)"收敛’积分判别法(#又*"#收敛#所以"*"#"收敛#""&)#"""#’"&)#"("$#"$#"$#$*"由比较判别法知"收敛’*"#%(#"$#!"&)"$例"%!设+’,(在点,+%的某一邻域内具有连续的二阶导数#且
4、&’(+’,(+%#,’%,$"证明)级数"+’(绝对收敛#""$"分析!本题考查级数与之前所学知识的综合运用#级数的绝对收敛的判定#证明!由&’(+’,(+%#又+’,(在,+%的某邻域内具有连续的二阶导数#可推出,’%,+’%(+%#!+’-%(+%将+’,(在,+%的某邻域内展成一阶泰勒公式"#"#+’,(++’%(!+’-%(,!+.’"(,++.’"(,!’"在%与,之间(##又由题设+’.,(在属于邻域内包含原点的一个小闭区间连续#因此()#%#使$+’.,($)!#于是$+’,($+"$+.’"($,#)!,###$$
5、""!"""令,+#则$+’($)*##因为"#收敛#故"+’(绝对收敛#""#""""$""$"*"*第十二章!数项级数历年考研真题评析!$$题!%!’中山大学##%%1年(级数"*"收敛的充要条件是)对任意的正整数序列/"#/##&#/"#&"$"都有&’(’*"!"!*"!#!&!*"!/(+%#""’!$分析!本题考查对级数收敛的定义的理解程度#$证明!必要性!因为"*"收敛#所以对*!#%#(%#%#当"#%及*0+%#有"$"$*"!"!*"!#!&!*"!’$%!特别地$*"!"!*"!#!&!*"!/$%!"所以&’
6、(’*"!"!*"!#!&!*"!/(+%""’!$充分性!用反证法#若"*"发散#则(!%#%#*%#%#("#%及自然数’#使$*"!"!&!*"!’$&!%"特别地%"+"#(""#"及自然数/"使$*"!"!&!*"!/$&!%""%#+(56!""##"#("##%##及自然数/##使$*"!"!&!*"!/$&!%"##&&&&这与&’(’*"!"!*"!#!&!*"!/(+%的假设矛盾#""’!$$$题"%!’同济大学##%%1年(证明)级数"’7"("8’),*,,%都是条件收敛的#""$"分析!本题考查条件收敛的判
7、断#莱布尼兹判别法与比较判别法的灵活运用#,#,,证明!不妨设,#%#则(%,#%#当"#%,时#%%%#此时8’)#%#且!8’)""为单调递减"#",数列#且&’(8’)+%#"’!$"$由莱布尼兹判别法知"’7"("8’),收敛#""$",8’)而当"#%,时#’7"("8’),+8’),#%#&’("+"#"""’!$,"$$,,又"发散#由比较判别法知"8’)也发散#"""$""$"$所以*,,%#级数"’7"("8’),都是条件收敛的#""$"课后习题全解!!!9"!级数的收敛性-"-证明下列级数的收敛性#并求其和数)*
8、#*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#""""’"(111&11&+"*11*""""*"1’0"2/(’0"1"(""""""’#(’1(1’#1#(1&1’"1"(1&+#.#.#.$"’.("+"’"1"(’"1#("$"$
