《数学分析选论》习题全解 模拟试题及答案

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1、《数学分析续论》模拟试题及答案一、单项选择题（）（１）设为单调数列，若存在一收敛子列，这时有．．．．．．．．．．．．[　]　　Ａ．；　　Ｂ．不一定收敛；　　Ｃ．不一定有界；　　Ｄ．当且仅当预先假设了为有界数列时，才有Ａ成立．（２）设在R上为一连续函数，则有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[　]Ａ．当为开区间时必为开区间；　Ｂ．当为闭区间时必为闭区间；Ｃ．当为开区间时必为开区间；　Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（３）设在某去心邻域内可导．这时有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

2、．[　]Ａ．若存在，则；Ｂ．若在连续，则A成立；Ｃ．若存在，则；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（４）设在上可积，则有．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[　]Ａ．在上必定连续；　Ｂ．在上至多只有有限个间断点；Ｃ．的间断点不能处处稠密；Ｄ．在上的连续点必定处处稠密．（５）设为一正项级数．这时有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[　]Ａ．若,则收敛；　　　Ｂ．若收敛，则；C．若收敛，则；　Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．5　二、计算题（）（１）试求

3、下列极限：①；　　②　．　　（２）设．试求．　　（３）试求由曲线，直线，以及二坐标轴所围曲边梯形的面积．　　（４）用条件极值方法（Lagrange乘数法）导出从固定点到直线的距离计算公式．　　三、证明题（）（１）设在上都连续．试证：若，则必存在，满足．　　（２）证明在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式：,其中均为正数．(提示：利用詹森不等式．)5（３）证明：．解答一、［答］（１）Ａ；　（２）Ｃ；　（３）Ｂ；　（４）Ｄ；　（５）Ｄ．二、［解］（１）①；　　②（２）　　．12（３）所围曲边梯形如右图所示．其面积

4、为（４）由题意，所求距离的平方（）为的最小值，其中需满足，故此为一条件极小值问题．依据Lagrange乘数法，设5，并令　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｆ）由方程组（Ｆ）可依次解出：最后结果就是所求距离的计算公式．注　上面的求解过程是由（Ｆ）求出后直接得到，而不再去算出的值，这是一种目标明确而又简捷的解法．三、［证］（１）只需引入辅助函数：．易知在上连续，满足，故由介值性定理（或根的存在定理），必存在，满足，即．　　（２）的定义域为，在其上满足：，所以为一严格凸函数．根据詹森不等式，对任何正数，恒有

5、最后借助函数的严格递增性，便证得不等式5．　　（３）由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限来计算级数的和．此时可以考虑把该级数的和看作幂级数在处的值，于是问题转为计算．　　不难知道上述幂级数的收敛域为，经逐项求导得到；这已是一个几何级数，其和为．再通过两边求积分，还原得由于这里的，于是求得　　　　　　　　　　．　　　　　5