《数学分析选论》习题全解 ch1new

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1、《数学分析选论》习题解答1第一章　实　数　理　论１．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明．证　设数集有下确界，且，试证：（１）存在数列；（２）存在严格递减数列．证明如下：（１）据假设，；且．现依次取相应地,使得．因，由迫敛性易知.（２）为使上面得到的是严格递减的，只要从起，改取，就能保证　　　　　　　　．　　　　　　□　　　　　　　　　　２．证明§1.3例６的（ⅱ）．证　设为非空有界数集，，试证：．现证明如下．由假设，显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何，由此推知，从而又有10．

2、另一方面，对任何有，于是有；同理又有．由此推得．综上，证得结论成立．　　　　　　　　　　　　　　　□３．设为有界数集，且．证明：（１）；（２）．并举出等号不成立的例子．证　这里只证（２），类似地可证（１）．设．则应满足：．于是，，必有，这说明是的一个下界．由于亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论成立．上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设，这时，故得　　　　　　　　　　　．　　　　　　　　　　□４．设为非空有界数集．定义数集，10证明：（１）；（２）．证　这里只证（２），

3、类似地可证（１）．由假设，都存在，现欲证．依据下确界定义，分两步证明如下：１）因为所以，必有．这说明的一个下界．２），使得．从而，故的最大下界．于是结论得证．□　　５．设为非空有界数集，且它们所含元素皆非负．定义数集，证明：（１）；（２）．证　这里只证（１），类似地可证（２）．因此是的一个上界．另一方面，，满足，故，使得10．由条件，不妨设，故当足够小时，仍为一任意小正数．这就证得是的最小上界，即得证．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□６．证明：一个有序域如果具有完备性

4、，则必定具有阿基米德性．证　用反证法．倘若有某个完备有序域不具有阿基米德性，则必存在两个正元素，使序列中没有一项大于．于是，有上界（就是一个），从而由完备性假设，存在上确界．由上确界定义，对一切正整数，有；同时存在某个正整数，使．由此得出，这导致与相矛盾．所以，具有完备性的有序域必定具有阿基米德性．　　　　　　□７．试用确界原理证明区间套定理．证　设为一区间套，即满足：．由于有上界，有下界（），因此根据确界原理，存在．倘若，则有，而这与相矛盾，故．又因，所以是一切的公共点．对于其他任一公共点，由于，因此只能

5、是，这就证得区间套存在惟一公共点．　　　　　　　□10８．试用区间套定理证明确界原理．，其中为的上界．记，若是的上界，则令；否则，若不是的上界，则令．一般地，若记，则令．如此得到的显然为一区间套，接下来证明这个区间套的惟一公共点即为的上确界．由于上述区间套的特征是：对任何，恒为Ｓ的上界，而则不为的上界，故，有，再由，便得，这说明是的一个上界；又因，故，由于不是的上界，因此更加不是的上界．根据上确界的定义，证得．同理可证，若为非空有下界的数集，则必有下确界．　　　　　　　　　　□９．试用区间套定理证明单调有界

6、定理．证　设为递增且有上界的数列，欲证收敛．为此构造区间套如下：令；类似于上题那样，采用逐次二等分法构造区间套，使不是的上界，恒为的上界．由区间套定理，，且使．下面进一步证明．一方面，由的极限，得到．另一方面，；由于不是的上界，故；又因递增，故当时，满足．于是有，10这就证得．　　同理可证为递减而有下界的情形．　　　　　　　　　　　　　　　　　　□　　．试用区间套定理证明聚点定理．证　设为实轴上的一个有界无限点集，欲证必定存在聚点．因有界，故，使得，．现设，则．然后用逐次二等分法构造一区间套，使得每次所选择

7、的都包含了中的无限多个点．由区间套定理，，．最后应用区间套定理的推论，当充分大时，使得；由于中包含了的无限多个点，因此中也包含了的无限多个点，根据聚点定义，上述即为点集的一个聚点．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□　　．试用有限覆盖定理证明区间套定理．证　设为一区间套，欲证存在惟一的点．下面用反证法来构造的一个无限覆盖．倘若不存在公共点，则中任一点都不是区间套的公共点．于是，，．即与某个不相交（注：这里用到了为一闭区间）．当取遍时，这无限多个邻域构成的一个无限开覆盖：．依据有限覆盖定理，存在的一个有限

8、覆盖：，其中每个邻域．若令，则，从而10　　　　　　　　　　．　　　　　　　　（Ж）　　但是覆盖了，也就覆盖了，这与关系式（Ж）相矛盾．所以必定存在．（有关惟一性的证明，与一般方法相同．）　□１２．设为非空有界数集．证明：．证　设（若，则为单元素集，结论显然成立）．记，欲证．首先，，有，这说明是的一个上界．又因不再是的上界，故，使,所以是的最小上界，于是所证结论成立．　　　　　　　　　　　　　　□１３．证明：若数