高数A(2)习题课(8)二重积分.ppt

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1、二重积分习题课(8)课件制作：于红香全志勇二、作业讲析三、典型例题讲解四、练习题一、内容总结一、内容总结二重积分定义（留意几何背景及物理背景）性质（六条性质）计算方法直角坐标法极坐标法一般换元法重积分计算的基本技巧一，选择积分次序不仅要考虑区域的形状，还要考虑被积函数的特点。二，善用对称性及重心公式来简化二重积分。三，巧妙选取极坐标系。一般来说，区域为圆形域，或被积函数含的，考虑选取极坐标系，可使计算更为简单。分块积分法利用对称性四，消去被积函数绝对值符号五，利用重积分换元公式二、作业讲析（略）例1.化二重积分为直角坐标下的二次积分，其中积分区域D是：（1）由直线及双曲线所围成的闭区域；（2

2、）环形闭区域。三、典型例题讲解（1）由直线及双曲线所围成的闭区域；yx0p1p2p3解：如右图，三线交点为p1(1,1),p2(2,2),p3(1/2,2)，或（2）环形闭区域。D1D2D3D4xy例2。如图所示交换下列二次积分的顺序:解:例3.计算积分解：因为的原函数不是初等函数，故只能交换积分次序。积分区域如右图：yx123例4.计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)利用对称性.围成.(2)积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得例5.计算二重积分在第一象限部分.解:(1)两部分,则其中D为圆域把与D分成作辅助线(2)提示:两部分说明:若不用对称性,需分块积分以去掉

3、绝对值符号.作辅助线将D分成例6.求由曲线所围成的第一象限部分闭区域的面积。解：令，则故例7.计算二重积分其中D是由曲所围成的平面域.解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标例8.证明证:左端=右端=四、练习题1.设则2.计算下列二重积分：3.设D是由圆围成的闭区域，计算下列二重积分：证明：练习题答案1.选A.提示:如图,由对称性知在上是关于y的奇函数在上是关于x的偶函数3.（1）0；（2）2.（1）；（2）；（3）e-1;4.略备选题交换积分顺序计算解.积分域如图.