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时间：2019-07-10
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1、二重积分第一节二重积分的概念与性质一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积二、二重积分的概念积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素上的在闭区域D对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．在直角坐
2、标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.第二节利用直角坐标系计算二重积分［X－型］应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得如果积分区域为：［Y－型］X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的
3、特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.解积分区域如图解解二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结［Y－型］［X－型］区域特征如图第二节利用极坐标系计算二重积分二重积分化为二次积分的公式（１）极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（2）区域特征如图解解
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