高数课件 1-2(同济版).ppt

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1、第一章数列极限第二节数列的极限一、极限的描述性定义二、“函数值能变得‘无限趋近常数A’”的描述三、数列极限的定义四、数列极限的性质正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积一、概念的引入1、割圆术:二、数列极限的描述性定义例1“一尺之棰,日取其半,万世不竭”放大《庄子·天下篇》这12个字实际上给出了一个数列,第一项是1(一尺之棰),从第二项开始每一项都是前一项的一半(日取其半).数列的项越来越小,它将无限地接近于零,但永远不会等于零(万世不竭)。将这个数列写出来就是例2数列可以看到随着n的增大该数列无限接近于1。数列的一

2、般项表达式为例1当n无限增大时,总结一下它们有何共同点?它们的共同点是:在自变量n无限增大的过程中,对应的函数值都无限接近于一个常数A.总之,我们看到无限接近于0;例2当n无限增大时,无限接近于1;如果数列在自变量n无限增大的过程中,对应的数列的值an无限趋近于常数A,就称该数列在自变量n无限增大时以A为极限.例1当n无限增大时,的极限是0;例2当n无限增大时,的极限是1;按照这种说法数列极限刻画的是数列值随自变量n变化的最终结果还是变化的最终趋势?这种叙述显然是不严格的,仅仅是朴素的语言描述.比如“无限趋近”是很模糊

3、的.——极限的描述性定义下面给出极限的严谨定义,关键是如何用数学语言刻画自变量(按照一定的方式)无限变化的过程中,对应的函数值“无限趋近于”一个常数.如果数列在自变量n无限增大的过程中,对应的数列的值an无限趋近于常数A,就称该数列在自变量n无限增大时以A为极限.三、“数列值an能变得‘无限趋近常数A’”的描述用

4、an-A

5、小于0.1可以吗?小于0.01,0.001,0.000001等具体的数可以吗?不可以,这样体现不出“要多小就能有多小”,因为能小于一个具体的数(比如0.000001),却不能说它还能小于更小的数(比

6、如0.00000001).该如何刻画呢?可以用

7、an-A

8、的大小来刻画an与A的接近程度,所谓an能变得无限接近于A,可以用

9、an-A

10、能变得无限趋于零,或说能变得任意小、要多小就能有多小来描述。只有说明

11、an-A

12、可以小于任意给定的正数,才能说明这个距离能变得要多小有多小.为此用表示任意给定的正数,

13、an-A

14、<任意给定的小正数这样显然不是数学语言.这样,就解决了刻画“数列值an能变得‘无限趋近于常数A’”的问题。需要注意的是,对任意给定的小正数,并不是对自变量的任意取值n都能使得成立,上式就可以表示为:

15、an-A

16、

17、<例如:成立.对数列及并不是所有的n都能使而只有当n增大到一定“程度”,比如n=9,从此之后(n>9)的各项才能使成立.“某一程度之后”该如何描述呢?而是在自变量变化的过程中,当变化到某一“程度”,从此之后所对应的数列值an才能使这个不等式成立.同样对于任意的数列an也不是对自变量n的所有取值都能使成立,对于数列来说,“某一程度之后”该如何描述呢?从数列无限趋于0谈起.三、数列极限的定义由于,需要说明:对任意给定的,在n无限增大的过程中,当n变化到某一“程度”之后,有恒成立.在n无限增大的过程中,用n>N表示n变化到这

18、个程度之后.存在“某一程度”,用来表示(这是因为n始终取正整数),下面我们来看,对于给定的,如何寻找这个“程度”N.我们先从的具体取值来看:对,可得到从第10项以后的所有项与0的距离都小于0.1;事实上,对于给定的要使只需于是,取“程度”N=10,用n>N表示”从此之后”.恒成立.即存在N=10,当n>N=10时,显然从第15项起也小于0.1。这个N唯一吗?再如对于给定的要使只需于是,取“程度”N=100.成立.即存在N=100,使得当n>N=100时,对,可得到从第100项以后的所有项与0的距离都小于0.01;显然从

19、第110项开始也小于0.01.任意给定正数,能够找到一个正整数N,当n>N时恒成立.从图中我们可以直观看到事实上,对于任意给定的要使只需成立.即存在使得当n>N时,于是,取“程度”这里不取整行吗?对任意给定正数请根据这个例子类似地讨论一下数列以1为极限.更一般地可以得到极限的定义数列以0为极限任给,总存在正整数N,当n>N时,恒成立.总存在正整数N,对数列,若存在常数a,当n>N时,恒成立,对任意给定的则称以a为极限,记作或总之总存在正整数N,对数列,若存在常数a,当n>N时,恒成立,对任意给定的则称以a为极限,记作或

20、定义(数列极限的定义)存在任意给定请注意这里的N是不唯一的.N观察下图,怎么理解数列极限的几何意义?任意给定都存在一个N,当n>N时,对应的点都落在以直线为中心,宽为的带形区域里.当n>N时恒若不存在这样的a,则称数列极限不存在,或数列发散.上面的极限定义中,哪几个词是最关键的?如何理解这个“恒”字呢?例5证明数列以1为极限(例2

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