同济版 高数课件 1-1.ppt

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1、“高等数学”课程所要学习的内容及内容间的相互关系第一章函数与极限一、集合１．集合的概念对于集合，我们并不陌生，通常把具有某种特定性质的事物的全体称为一个集合.而把组成这个集合的每一个事物个体称为该集合的元素．以下都可以作为集合的例子：全体实数全体有理数全体正整数我们经常用到得都是数集——所有元素都是数的集合.以下的一些数集是我们经常用到的：全体非负整数的集合：全体正整数的集合：全体整数的集合：全体有理数的集合：全体实数的集合：数集间的关系:2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端

2、点.称为开区间,称为闭区间,区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.半开半闭区间：无穷区间：用图表示更清楚3邻域：去心邻域：的左邻域的右邻域试着在图中表示出来.二、函数的概念定义1设D是一个非空实数集，若存在对应关系f，对D中任意实数x，依照对应关系f，都有唯一的实数y与之对应，则称f是定义在D上的函数，记作与实数x0对应的实数y0称为函数在点x0处的值，简称函数值，记作或.数集D称为函数f的定义域，函数值的集合称为函数f的值域．x称作自变量,y称作因变量．讨论：定义中有哪些关键词？决

3、定一个函数有哪些主要因素？答：1.定义域、对应关系是确定函数的两大要素。如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．函数定义域的确定：（1）由算式表示的函数，定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数组成的集合.（2）有实际意义的函数，根据实际意义确定.例1Gauss函数，不超过自变量的最大整数几个特殊的函数举例阶梯曲线答如????例2符号函数例3分段函数例4Dirichlet函数自变量在不同范围内取值时，函数表达式可能不同，这样的函数称为分段函

4、数。曲线的极坐标方程“三毛在你东偏北60度”你是否能够准确地确定对方的位置？从该例可以看出，我们不仅可以利用平面直角坐标系的坐标确定一个点．还可以利用距离和角度这样一组数来确定一个点．你从平面中的一个点出发作一条射线，再选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），点称为极点．射线称为极轴.再知道“他距离你50公里”，能确定他的位置了吗？这就是极坐标系，点P到极点的距离r，称为点P的极径；因此在极坐标系下，平面上任一点P（除极点外）都可以与一个二元有序数组建立一一对应关系．称二元有序数组为点P的极坐标

5、.给定平面中的一个点（非原点）都可以确定一对数与它对应：例如：图中的M也可以记作（当时）.可以记为（当时）；极轴到射线的转角，称为点P的极角，规定（或）．→注：极点是唯一极坐标不确定的点，其极径，极角可以任意取值．讨论：在极坐标系下分别是什么图形？答：：射线：半径为a的圆将直角坐标系与极坐标系的原点重合，极轴与x轴正半轴重合，你能给出极坐标与直角坐标之间的转化关系吗？那么则极坐标与直角坐标之间的转化关系为：利用极坐标可以建立平面中的图形与方程间的一一对应．例：方程表示以极点为中心、半径为2的圆；一般极坐标

6、系下的曲线方程可以表示为或，由后者可以看出是的函数.答：将带入到极坐标方程中，得方程用极坐标表示就是将带入到直角坐标方程中，得你能用直角坐标系和极坐标系之间的关系验证这两个结论吗？极坐标常用函数举例：圆圆阿基米德螺线三叶玫瑰线心形线这就得到一个D’到D的函数，称其为函数f的反函数，函数y=3x+1，对任意的，都有y的唯一取值与其对应；称为函数y=3x+1,的反函数.三、反函数反过来，由这个对应关系，对每个都有唯一的与其对应。反函数：设函数的值域为D’，如果对任意的都有唯一的满足f(x)=y，通常记作一般的

7、，有反函数的概念：例如由于是到的一一对应，因此，它存在的反函数，记作同一条曲线从两个不同的角度描述了变量x和y的同样的对应关系.因此，函数的图形与它的反函数的图形是同一个．根据习惯，反函数通常也用x表示自变量，用y表示相应的函数值，于是通常将函数的反函数记为改写改写由(x,y)与(y,x)关于直线对称.因此，函数的图形与它的反函数的图形关于直线对称.而将变成了符号的改变造成了上的点(x,y)变成了上的点(y,x)，我们知道函数与的图形是同一个.我们知道钟摆的振动周期四、复合函数摆长重力加速度(其中l0为温

8、度为00C时的摆长,为伸缩系数.)而摆长会随温度的改变而伸缩，则当温度为t0C时的摆长为下面研究温度的变化对钟表快慢的影响建立钟摆的周期T和温度t之间的函数关系：代入称为的复合函数。复合函数：设D为一非空实数集合，称由函数和所确定的的函数h为函数的复合函数，记作即一般的，有复合函数的概念：例如：复合为函数复合为函数复合为函数注意:2.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;1.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.思考