《高数同济》word版

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1、习题11-71.下列周期函数f(x)的周期为2p,试将f(x)展开成傅里叶级数,如果f(x)在[-p,p)上的表达式为:(1)f(x)=3x2+1(-p£xb>0).解因为,(n=1,2,×××),(n=1,2,×××),所以f(x)的傅里叶级数展开式为(

2、x¹(2n+1)p,n=0,±1,±2,×××).2.将下列函数f(x)展开成傅里叶级数:(1)(-p£x£p);解将f(x)拓广为周期函数F(x),则F(x)在(-p,p)中连续,在x=±p间断,且,,故F(x)的傅里叶级数在(-p,p)中收敛于f(x),而在x=±p处F(x)的傅里叶级数不收敛于f(x).计算傅氏系数如下:因为(-p

3、数在(-p,p)中收敛于f(x),而在x=±p处F(x)的傅里叶级数不收敛于f(x).计算傅氏系数如下:,(n=1,2,×××),(n=1,2,×××),所以(-p

4、p)展开成傅里叶级数:解因为为偶函数,故bn=0(n=1,2,×××),而(n=1,2,×××).由于在[-p,p]上连续,所以(-p£x£p).5.设f(x)的周期为2p的周期函数,它在[-p,p)上的表达式这,将f(x)展开成傅里叶级数.解因为f(x)为奇函数,故an=0(n=0,1,2,×××),而(n=1,2,×××),又f(x)的间断点为x=(2n+1)p,n=0,±1,±2,×××,所以(x¹(2n+1)p,n=0,±1,±2,×××).6.将函数(0£x£p)展开成正弦级数.解作奇延拓得F(x):,再周期延拓F(x)到(-¥,+¥),则当xÎ

5、(0,p]时F(x)=f(x),.因为an=0(n=0,1,2,×××),而(n=1,2,×××),故(0

6、0=0,a2k=0,b2k=0(k=1,2,×××);解因为,所以a0=0.因为,所以a2k=0.同理b2k=0(k=1,2,×××).(2)如果f(x-p)=f(x),则f(x)的傅里叶系数a2k+1=0,b2k+1=0(k=1,2,×××).解因为,所以a2k+1=0(k=1,2,×××).同理b2k+1=0(k=1,2,×××).