同济版高数练习及解答

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1、高等数学I一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1..（A）（B）（C）（D）不可导.2..（A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小；（C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小.3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）.（A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值；（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。4.（A）（B）（C）（D）.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5..6..7..8..三、解答题（本大题有5小题，每

2、小题8分，共40分）9.设函数由方程确定，求以及.10.1.2.设函数连续，，且，为常数.求并讨论在处的连续性.3.求微分方程满足的解.四、解答题（本大题10分）4.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）5.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）6.设函数在上连续且单调递减

3、，证明对任意的，.7.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）高数I解答一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5..6..7..8..三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导，10.解：11.解：12.解：由，知。，在处连续。13.解：，四、解答题（本大题10分）9.解：由已知且，将此方程关于求导得特征方程：解出特征根：其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为：五、解答题（本大题

4、10分）10.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）11.证明：故有：证毕。12.证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在上可导。，且由题设，有，有，由积分中值定理，存在，使即综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在和，使及，即.高数II试题一、选择题（每题4分

5、，共16分）1．函数在(0,0)点.(A)连续，且偏导函数都存在；(B)不连续，但偏导函数都存在；(C)不连续，且偏导函数都不存在；(D)连续，且偏导函数都不存在。2．设为可微函数，，则。()．()．；()．；()．。3．设在上连续，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为。()．；()．；()．；()．。4．幂级数在处条件收敛，则幂级数的收敛半径为。()．；()．；()．；()．。二、填空题（每题4分，共20分）1．设函数，则函数的全微分。2．函数在点处沿方向的方向导数为，其中O为坐标原点。3．曲面在点（1，2，0）处

6、的切平面方程为。4．曲线积分（其中是圆周：）的值为。5．设的正弦级数展开式为，设和函数为，则,.三、计算题（每题7分，共21分）1．求方程的通解。2．交换二次积分的积分顺序。3．计算曲面积分，其中为锥面。四（9分）设函数，其中具有二阶连续偏导数，求。五、（10分）确定的值，使曲线积分与路径无关，并求分别为，时曲线积分的值。六、（10分）化三重积分为柱面坐标及球面坐标系下的三次积分，其中是由和，所围成的闭区域。七、（10分）求，其中∑为锥面的外侧。八、（4分）设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛。高数II解

7、答一、选择题（每题4分，共16分）BCDB1．函数在(0,0)点B.(A)连续，且偏导函数都存在；(B)不连续，但偏导函数都存在；(C)不连续，且偏导函数都不存在；(D)连续，且偏导函数都不存在。2．设为可微函数，，则C。()．()．；()．；()．。3．设在上连续，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为D。()．；()．；()．；()．。4．幂级数在处条件收敛，则幂级数的收敛半径为B。()．；()．；()．；()．。二、填空题（每题4分，共20分）1．设函数，则函数的全微分。2．函数在点处沿方向的方向导数为，其中O为

8、坐标原点。3．曲面在点（1，2，0）处的切平面方程为。4．曲线积分（其中是圆周：）的值为。1．设的正弦级数展开式为，设和函数为，则，。三、计算题（每题7分，共21分）1．求方程的通解。解：特征方程为，则特征根为，因此齐次方程通解为设非齐次一个特解为，代入方程得得，故方程的通解为2．交换二次