【精品】几何善观察巧旋转妙解题.doc

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1、善观察巧旋转妙解题沈岳夫旋转是几何图形运动中的重耍变换，随着课程改革的进一步深入，利用旋转知识进行有关计算或证明的题目很多，尤其是题目中没有涉及到旋转等文字，使不少学生在解答时无从看手，找不到解题的途径，但如果能根据题目特征加以观察，通过旋转，找到解题的突破口，那么问题就简单化了，现采撷部分试题加以归纳，供参考。通过旋转，解答角度问题例1.如图1,P是正三角形ABC内的一点，且PA=6,PB=8,PC=103求ZAPB的度数。解析：先将部分己知条件集中到一个三角形中，再研究这个三角形与所求的关系。将APAC绕点A逆吋针

2、旋转60°后，得到AFAB,连接PF（如图2）,则BF=PC=10,FA=PA=6,ZFAP=60°=•••△FAP是等边三角形，FP=PA=6o在ZXPBF中，PB2+PF2=82+62=102=BF2・•・ZBPF=90°・ZAPB=ZAPF+ZFPB=60°+90°=150°%1.通过旋转，计算线段长度问题例2.如图3,P是正AABC内一点，PA=2,PB=2^3,pc=4,求BC的长。C解析：此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法來解题，就显得十分容易。将ZXBPA绕点B逆吋针旋转60°,则BA与BC重

3、合（如图4）,BP=BM,PA=MC,连接MPo则AMBP是正三角形，即MP=2a/5,PC=4,MC=2,[

4、}MP2+MC2=(2a/3)2+22=42=PC2,故ZCMP=90°,MC=-PC因为2,所以ZMPC=30°,又因为ZMPB=60°,故ZCPB=90°,得BC=VPB2+PC2=2a/7例3.如图5,椰形ABCD中，AD//BC(BC>AD),ZD=90°,BC=CD=12,ZABE=45°,若AE=10o求CE的长度。图5解析：经观察，把ABCE绕点B顺吋针旋转90°,可构成-个止方形，然后通过三角

5、形全等，找出边之间的关系。延长OA,把ABCE绕点B顺时针旋转90。,与DA的延长线分别交于点G,点M(如图6),易知四边形BCDG为止方形。・•・BC=BG又Z=CBE=ZGBMARtABEC^RtABMG・・・BM二BE,ZABE=ZABM=45°AAABE^AABM・AM=AE=10设CE=x,贝gAG=10—x,AD=12—(10—x)=2+x,DE=12—xRtAADE中，AE2=AD2+DE2,BP102=(x+2)2+(12-x)2・•.x2-lOx+24=0•xI=4,x=6所以CE的长为4或6°图6

6、%1.通过旋转，巧算面积问题例4.如图7,正方形ABCD中,AB=a/3点E、F分别在BC、CD上，.RZBAE=30°,ZDAF=15°,求ZXAEF的面积。图7解析：山于该题中含15°,30°等特殊角度，通过旋转AADF,可构作出45。角，构造三角形全等，通过等积变形而获解。将AADF绕A点顺时针旋转90°至IJAABG的位置（如图8）,宙旋转性质可知：AG=AF,ZBAG=ZFAD=15°,故ZGAE=15°+30°=45°。AZEAF=90°-(15°+30。)=45。・•・ZGAE=ZFAE又VAE=AEZ.

7、AAEG^AAEF(SAS)・・・EF=EG,ZAEF=ZAEG=60°在RtAABE中，AB=巧，ZBAE=30°,贝0BE=1,在RtAEFC中，ZFEC=180°_(60°+60°)=60°,・・.EC=BC-BE=V3-1・・.EF=2EC=2(73-1)即EG=EF=2(V3-1)••S“aeg=-xEGxAB=-x2(73-1)-73=3-V322••S^aEF=AAEGcccc例5.如图9,A、B、C、D是圆周上的四个点，AB+CD=AC+BD。且弦AB=8,弦CD=4,则图中两个弓形（阴影）的面积和是多

8、少？（结果保留三个有效数字）B图9解析：要直接求两个弓形面积难度较大，抓住已知条件，运用幣体思维可简易求得。山于AB+CD-AC+BD,知AB+CD长等于圆的周长的一半，将弓形CmD绕圆心旋转，使点D与点B重合（如图10）,贝IJABC恰好为半圆弧，此时AC为圆O的直径，从i（u'ZABC=90Q,山勾股定理可求得AC=4亦，S阴影=S半圆一Sr^abc=—x3.14x（2V5）2——x8x4«15.4故其面积和为15.4。%1.通过分割、旋转、拼接平行四边形例6.如图11,己知四边形纸片ABCD,现需将该纸片剪成一个

9、与它而积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：（用“能”或“不能”填空），若填“能”，请确定裁剪线的位匿，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理山。图II解析：解此题的关键是把大四边形分割成四个小四边形，然后通过分割旋转达到目的，简答如下：能，如图12,取四边形ABCD各边的中点E、G、F、H,连接EF、G