第2讲：善观察巧旋转妙解题

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1、第2讲：善观察巧旋转妙解题旋转是几何图形运动中的重要变换，随着课程改革的进一步深入，利用旋转知识进行有关计算或证明的题目很多，尤其是题目中没有涉及到旋转等文字，使不少学生在解答时无从着手，找不到解题的途径，但如果能根据题目特征加以观察，通过旋转，找到解题的突破口，那么问题就简单化了，现采撷部分试题加以归纳，供参考。一.通过旋转，解答角度问题 例1.如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10。求∠APB的度数。图1解析：先将部分已知条件集中到一个三角形中，再研究这个三角形与所求的关系。将△PAC绕点

2、A逆时针旋转60°后，得到△FAB，连接PF（如图2），则BF=PC=10，FA=PA=6，∠FAP=60°。∴△FAP是等边三角形，FP=PA=6。在△PBF中，∴∠BPF=90°∴∠APB=∠APF+∠FPB=60°+90°=150°图2二.通过旋转，计算线段长度问题 例2.如图3，P是正△ABC内一点，PA=2，，PC=4，求BC的长。图3解析：此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法来解题，就显得十分容易。将△BPA绕点B逆时针旋转60°，则BA与BC重合（如图4），BP=BM，PA=MC，连接MP。则△MBP

3、是正三角形，即，由，故∠CMP=90°，因为，所以∠MPC=30°，又因为∠MPB=60°，故∠CPB=90°，图4得 例3.如图5，在梯形ABCD中，AD//BC（BC>AD），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10。求CE的长度。图5解析：经观察，把△BCE绕点B顺时针旋转90°，可构成一个正方形，然后通过三角形全等，找出边之间的关系。延长OA，把△BCE绕点B顺时针旋转90°，与DA的延长线分别交于点G，点M（如图6），易知四边形BCDG为正方形。∴BC=BG又∠=CBE=∠GBM∴Rt△BE

4、C≌Rt△BMG∴BM=BE，∠ABE=∠ABM=45°∴△ABE≌△ABM∴AM=AE=10设CE=x，则。图6在Rt△ADE中，，即∴∴所以CE的长为4或6。3三.通过旋转，巧算面积问题 例4.如图7，正方形ABCD中，，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积。解析：由于该题中含15°，30°等特殊角度，通过旋转△ADF，可构作出45°角，构造三角形全等，通过等积变形而获解。将△ADF绕A点顺时针旋转90°到△ABG的位置（如图8），由旋转性质可知：AG=AF，∠BAG=∠F

5、AD=15°，故∠GAE=15°+30°=45°。∴∠EAF=90°∴∠GAE=∠FAE又∵AE=AE∴△AEG≌△AEF（SAS）∴EF=EG，∠AEF=∠AEG=60°在Rt△ABE中，，∠BAE=30°，则BE=1，图8在Rt△EFC中，∠FEC=，∴∴即 例5.如图9，A、B、C、D是圆周上的四个点，。且弦AB=8，弦CD=4，则图中两个弓形（阴影）的面积和是多少？（结果保留三个有效数字）解析：要直接求两个弓形面积难度较大，抓住已知条件，运用整体思维可简易求得。由于，知长等于圆的周长的一半，将弓形CmD绕圆心旋转，

6、使点D与点B重合（如图10），则恰好为半圆弧，此时AC为圆O的直径，从而∠ABC=90°，由勾股定理可求得，故其面积和为15.4。四.通过分割、旋转、拼接平行四边形 例6.如图11，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：_______________（用“能”或“不能”填空），若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。解析：解此题的关键是把大四边形分割成四个小四边形，然后通过分割旋转达到目的，简答如下：能，如图12，

7、取四边形ABCD各边的中点E、G、F、H，连接EF、GH，则EF、GH为裁剪线，EF、GH将四边形ABCD分成1、2、3、4四个部分，拼接时，图中的1不动，将2、4分别绕点H、F各旋转180°，3平移，拼成的四边形满足条件（如图13）。图11图12图13 复习巩固1．如图，P是正方形内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若BP=3，求PP′．2．正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，证明∠APB=135°．3、如图P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB的度数

8、ABCP33