2018届中考数学（广西）练习：题型四 二次函数与几何图形动态探究题.doc

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1、题型四　二次函数与几何图形动态探究题类型一　探究最值问题1．如图，直线y＝－x＋2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A(－1，0)．(1)求该二次函数的关系式；(2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．解：(1)二次函数的关系式为y＝－x2＋

2、x＋2；(2)如解图所示，抛物线的对称轴为x＝－＝，∴OD＝.又∵OC＝2，∴DC＝＝.当PD＝DC时，P(，)．当P′D＝CD时，P′(，－)．过点C作CE⊥对称轴，垂足为E.∵CP″＝CD，∴DE＝EP″.∵DE＝CO＝2，∴DP″＝4，∴P″(，4)．∴综上所述，当点P的坐标为P(，)或P′(，－)或P″(，4)时，△PCD是以CD为腰的等腰三角形；(3)E(2，1)，∴S四边形CDBF最大＝.2．(2017·苏州)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC.点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛

3、物线的对称轴，E是抛物线的顶点．(1)求b、c的值；(2)如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；(3)如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．解：(1)b＝－2，c＝－3；(2)设点F的坐标为(0，m)．∵对称轴为直线x＝1，∴点F关于直线l的对称点F′的坐标为(2，m)．由(1)可知抛物线解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴

4、E(1，－4)，∵直线BE经过点B(3，0)，E(1，－4)，∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝2x－6.∵点F在BE上，∴m＝2×2－6＝－2，即点F的坐标为(0，－2)；(3)存在点Q满足题意．设点P坐标为(n，0)，则PA＝n＋1，PB＝PM＝3－n，PN＝－n2＋2n＋3.作QR⊥PN，垂足为R，∵S△PQN＝S△APM，∴(n＋1)(3－n)＝(－n2＋2n＋3)·QR，∴QR＝1.①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为(n－1，n2－4n)，R点的坐标为(n，n2－4n)，N点的坐标为(n，n2－2n－3)．∴在Rt△QRN中，NQ2＝1＋

5、(2n－3)2，∴当n＝时，NQ取最小值1.此时Q点的坐标为(，－)；②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为(n＋1，n2－4)．同理，NQ2＝1＋(2n－1)2，∴当n＝时，NQ取最小值1.此时Q点的坐标为(，－)．综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为(，－)或(，－)．3．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存

6、在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；(2)存在．Q(－1，2)；(3)存在．理由如下：如解图，设P(x，－x2－2x＋3)(－3＜x＜0)，∵S△BPC＝S四边形BPCO－S△BOC＝S四边形BPCO－，若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大，∴S四边形BPCO＝S△BPE＋S四边形PEOC，＝BE·PE＋OE(PE＋OC)＝(x＋3)(－x2－2x＋3)＋(－x)(－x2－2x＋3＋3)＝－(x＋)2＋＋，当x＝－时，S四边形BPCO最大值

7、＝＋，∴S△BPC最大＝＋－＝，当x＝－时，－x2－2x＋3＝，∴点P坐标为(－，)．4．(2017·泸州)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(－1，0)、B(4，0)、C(0，2)三点．(1)求该二次函数的解析式；(2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO(O是坐标原点)，求点D的坐标；(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1－S2的最大值．解：(1)二次函数解析式为y＝－x2＋x＋2；(2)满足条件的点D的坐标为(3

8、，2)或(－5，－18)；(3)过点P