概率论与数理统计总复习知识点归纳.ppt

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1、概率论与数理统计总复习第一章事件的概率2.概率的定义：3.概率的性质：①②③4.两个概念(对立)：①非负性；②规范性；③可列可加性。A与B独立←→P(AB)=P(A)P(B)A与B互不相容→P(AB)=0,P(A∪B)=P(A)+P(B)←→AB=φ1.古典概率—乘法原理、排列组合；几何概率—均匀分布→P(A)≠0时,P(B/A)=P(B)5.两个公式P(Ai/B)后验概率A1A2........AnBP(Ai)——先验概率P(B/Ai)例1设甲、乙、丙三人的命中率分别为0.3，0.2，0.1。现三人独

2、立地向目标各射击一次，结果有两次命中目标，试求丙没有命中目标的概率。记A、B、C分别为甲、乙、丙命中目标，D为目标被命中两次.解=0.092法一用条件概率直接求解。P(B)法二用Bayes公式：CD0.10.90.3*0.20.3*0.8+0.7*0.2P(C)=0.1,P(D/C)=0.3*0.8+0.7*0.2,于是有例2填空(可作图帮助分析)(1)设P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则=______(2)若A与B独立，且A与B互不相容，则min{P(A)，P(B)}=____。00.6(3)

3、已知P(A)=0.3，P(B)=0.5。则当A与B相互独立时，有P(A∪B)=_____；当A与B不相容时，有P(B-A)=____；当P(A/B)=0.4时，有0.650.50.4第二、三章随机变量及其分布1.常用分布B(n,p)，P()，U[a,b]，E()，N(,2)；2.联合分布和边缘分布4.随机变量函数的分布②公式法：①分布函数法(C.R.V.)：（注意分段）独立时，Min(X1,X2,…,Xn)和Max(X1,X2,…,Xn)的分布。3.概率的计算(一维或二维C.R.V.：一重或二重

4、积分)作图、定限再计算、验证独立时二维均匀、二维正态5随机变量的独立性正态分布的线性组合性质(含正态分布可加性)若Xi~N(i，i2),i=1,2,...n,相互独立，则对任何实数a1,a2,…,an,有例3已知X~f(x)，求Y=-X2的概率密度。解用分布函数法。y<0时，y≥0时，FY(y)=P(Y≤y)=1于是Y的概率密度为FY(y)=P(Y≤y)=P(-X2≤y)例4设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：解求随机变量Z=X+Y的密度函数fZ(z)。法一(分布函数法)：0xy11法二(公式

5、法)：注意到被积函数的非零区域G为：x=zx=z-1110zx2G第四章数字特征小结(定义、含义、计算和性质)1.计算（附表一：六大分布）2.性质⑴E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)⑵E(∑iλiXi)=∑iλiE(Xi)(3)D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y)±2λ1λ2Cov(X,Y)(4)独立必不相关，反之则不一定。E(X),E(Y),E(XY)E(X2),E(Y2)例5设C.R.V.(X,Y)在三角形区域G:0≤x≤1,0≤y≤1-x上服从均匀分布，求

6、Cov(X,Y)和ρXY.解同理E(X2)=1/6,E(XY)=1/12.从而DX=E(X2)-(EX)2=1/18由对称性有E(Y)=E(X)=1/3,DY=DX=1/18.于是Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1/12-(1/3)2=-1/36例6设Θ~U(0,2π),X=cosΘ,Y=cos(Θ+a),其中0≤a<2π为常数，试求ρXY并由此讨论X与Y之间的关系。解于是当a=0，ρXY=1，当a=π/2或3π/2时，因ρXY=0，故X和Y不相关。例7求例8设(X,Y)~N(μ1,μ2

7、,σ12,σ22,ρ),可以推出哪些结论？(分布特点、边缘分布、数字特征、独立与不相关等)当a=π，ρXY=-1，两种情况下X和Y都呈线性关系。这时Y=-X。这时Y=X；但却有X2+Y2=1，表明X和Y不独立。解D(X+Y)＝DX＋DY＋2Cov（X，Y）D(X-Y)＝DX+DY-2Cov（X，Y）例9设随机变量X，Y的方差分别为25和36，相关系数为0.4，求D(λ0+λ1X+λ2Y)，D(X+Y)，D(X-Y)．D(λ0+λ1X+λ2Y)=D(λ1X+λ2Y)＝λ12DX＋λ22DY＋2λ1λ2Co

8、v（X，Y）例10设随机变量X1，X2,…，Xn相互独立，且期望和方差分别为μ,σ2≠0,的相关系数。解第5章：1.契比雪夫不等式2.中心极限定理:正态极限分布:例11试用三种方法计算抛100次均匀硬币出现正面的频率在0.4至0.6之间的概率。解设出现正面的次数为X，则X~B(100,1/2)第6、7章：抽样分布,正态总体的抽样分布；矩估计、极大似然估计；无偏性；区间估计(单正态总体，双侧)。1直接计算；3用中心极限定理。2用契比雪夫不等式