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1、正弦定理、余弦定理应用举例1．解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法如表所示.已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a,B,C)两边和夹角(如a,C,b)三边(a,b,c)两边和其中一边的对角(a,b,A)正弦定理余弦定理余弦定理正弦定理余弦定理正弦定理由A+B+C=180˚,求角A,再用正弦定理求出b与c.用余弦定理求出角A,B,再由A+B+C=180˚求出角C.由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．由正弦定理求出角B;由A＋B＋C＝180°,求出角C;再利用正弦定理或余弦定
2、理求c.可有两解,一解或无解测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型(1)仰角和俯角：3．实际问题中的常用角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角．指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫方向角.(2)方向角目标方向线方向一般可用“×偏×”多少度来表示,这里第一个“×”号是“北”或“南”字,第二个“×”号是“东”字或“西”字.OA的方向角为＿＿＿＿＿＿；OB的方向角为＿＿＿＿＿＿；OC的方向角为＿＿＿＿＿＿；OD的方向角为
3、＿＿＿＿＿＿.北偏东60°北偏西30°西南方向南偏东20°(4)水平距离、垂直距离、坡面距离(3)方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α．如图BC代表水平距离,AC代表垂直距离,AB代表坡面距离.ABC如图把坡面的铅直高度h和水平宽度为l的比叫做坡度(或叫做坡比),用字母i表示,坡度一般写成h:l的形式.如i=1:4,(5)坡度、坡角：坡面与水平面所成的二面角α的度数叫做坡角,坡角与坡度之间有如下关系：测量距离问题【例2】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．测量高度问题如图,某人在
4、塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α,α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB.如图,某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α,α的最大值为60°.(2)求塔的高AB.正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝5,AC＝9,∠
5、BCA＝30°,∠ADB＝45°,求BD的长．如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE.运用正、余弦定理解决实际应用问题解斜三角形应用题的一般步骤为：第一步：分析：理解题意,分清已知与未知,画出示意图；第二步：建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步：求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．例1.(2010·福建高考)某
6、港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.解:如图,设在时刻t(小时)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t＋60(千米)．
