高等代数发展史.doc

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1、初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为一次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学电开设的高等代数,一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。高筹代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基木的仃集合、向量和向量空间等。这些量具仃和

2、数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。集合是具冇某种属性的爭物的全体；向量是除了具冇数值还同时具冇方向的量；向量空间也叫线性空间，是山许多向量组成的并冃符合某些特定运算的规则的集合。向量空间屮的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也山很大的不同了。高等代数发展简史代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学

3、家王孝通所编的《缉古算经》就仃叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”电，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。在西方，直到IA1H：纪初的文艺复兴时期，才山冇意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。在数学史上，相传这个公式是意人利数学家塔塔甲亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺（1501〜1576）骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作电。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式（或称卡当公式），其实，

4、它应该叫塔塔里亚公式。三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里（1522〜1560）解出。这就很自然的促使数学家们继续努力丁求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的足这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一自持续了长达三个多世纪，都没有解决。到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔（1802〜1829）证明了五次或五次以上的方程不可能仃代数解。既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没仃冋答每一个具体的方程是否可以用代数

5、方法求解的问题。年革死后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，山法国的一位青数学家伽罗华彻底解决了。伽罗华20岁的时候，

6、人

7、为积极参加法国资产阶级命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中去，年仅21岁。伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死「的命运，所以即连夜给朋友场信，仓促地把B己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文于-稿。他在给刖友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。冇些是关于方程论的；彳j些是关于整函数的……o公开请求雅可比或高斯,不是对这些定理的匸确性而是对这些

8、定理的巫要性发表意见。我希望将来仃人发现消除所仃这些混乱对它们是有益的。”伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年，才山刘维尔（1809〜1882）编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗华虽然十分年轻,但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了儿个III「纪以来一宜没仃解决的高次方程的代数解的问题，更巫要的是他在解决这个问题中提出了“酬”的概念，并山此发展了…整套关于祥和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地

9、，岂接影响了代数学研究方法的变革。从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。在数学大师们的经典苦作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。高等代数的基木内容代数学从高等代数总的问题出发，乂发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科日，比如:多项式代数、线性代数等。代数学研究的对彖，也已不仅是数，还仃矩阵、向量、向量空间的变换等,对于这些对象，都可以进行运算。虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律,有时不再保持右效。伙1此代数学的内容可以概括为研究

10、带冇运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等。多项式是一•类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质,从而寻找简易的解方程的方法。多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、巫因式等。