数值分析5-2高斯消去法.ppt

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1、一、高斯消去法第五章解线性方程组的直接法§2高斯消去法二、矩阵的三角分解三、高斯消去法的计算量四、高斯—约当消去法一、高斯消去法1.高斯消去法的基本思想举例用消去法解方程组（求解过程详见书，请同学们自学）基本思想：用逐次消去未知数的方法把原来方程组AX=b化为与其等价的三角形方程组，而求解三角形方程组就容易了！2.高斯消去法的一般过程记Ax=b为A(1)x=b(1)，(1)消元过程第一次消元(记为A(2)x=b(2))……第n-1次消元(记为A(n)x=b(n))(2)回代过程高斯消去法的特点：消元和回代不同步！3.使用高斯

2、消去法的条件使用高斯消去法要求在每步消元时，那么矩阵A满足什么，才能保证这一条件呢？引理：约化的主元素(i=1,2,…,n)的充要条件是矩阵A的顺序主子式推论：如果A的顺序主子式不等于0，则(k=2,3,…,n)定理：如果n阶矩阵A的所有顺序主子式均不为零，则可通过高斯消去法（不进行交换两行的初等变换），将方程组约化为三角形方程组。定理：如果A为n阶非奇异矩阵，则可通过高斯消去法（及交换两行的初等变换）将方程组Ax=b化为三角形方程组。二、矩阵的三角分解由矩阵理论可知，对系数矩阵A实施行的初等变换相当于用初等矩阵左乘A，即等

3、价于其中行初等变换行初等变换初等矩阵例①*(-2)+③则其中①*(-2)+③考察高斯消去法过程：等价于其中第一次消元消元时的系数而且重复这一过程，共进行次消元，得ｎ－1将上三角矩阵A(n)记为U，则有其中Gauss消去法将A分解为两个三角矩阵相乘定理:(矩阵的LU分解)设A为n阶矩阵，如果A的顺序主子式(i=1,2,…,n-1)，则A可分解为一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，且这种分解是唯一的。注：若A实现了LU分解，则Ax=b(LU)x=bLy=bUx=y求解两个三角形方程组!举例：用系数矩阵的LU分解求下列方

4、程组解：系数矩阵为由高斯消去法，m21=0，m31=2m32=－1，故则求解原方程组可转化为如下两个三角形方程组：三、高斯消去法的计算量定理：如果A为n阶非奇异矩阵，则用高斯消去法解Ax=b所需的乘除法次数及加减法次数分别为例如：n=10时，高斯消去法需要430次乘除法，而Cramer法则却需要39916800次乘法。四、高斯—约当消去法(Gauss-Jordan)高斯消去法在消元时始终消去对角线下方的元素，而高斯——约当消去法则同时消去对角线上方和下方的元素。第一次消元(与高斯消去法不相同)第二次消元…故方程组的解为高斯—

5、—约当消去法的特点：(1)消元和回代同时进行；(2)乘除法的次数要比高斯消去法大，所以通常用于同时求解系数矩阵相同的多个方程组或求逆矩阵。高斯-约当消去法的应用1.同时求解系数矩阵相同的多个方程组例用高斯-约当消去法求解两个方程组AX=b1和AX=b2，其中解增广矩阵为①×1/3消元②×3/4消元于是求得方程组Ax=b1的解方程组AX=b2的解基本原理：设有系数矩阵都为A的m个方程组将b1,b2,…,bs依次排在A的第n+1,n+2,…,n+m列，作一个n行n+m列的增广矩阵，那么可用高斯-约当消去法的同时求解m个方程组.2

6、.求解矩阵的逆基本原理：设A为n阶非奇异矩阵，I为单位矩阵。由线性代数的知识，若对n×2n矩阵[A,I]作初等行变换，把A化为I，则原先的I就化成了A-1。所以在计算机上用高斯-约当消去法计算即可。即由关系式AA-1=I得其中x(s)为A-1的第s列，es为I的第s列(s=1,2,…,n)。在计算机上用高斯-约当消去法求A-1就相当于同时求解n个线性方程组。例用高斯-约当消去法求矩阵A的逆矩阵，其中解用高斯-约当消去法得消元消元消元后单位化就是A-1作业：习题1,2,7