数值分析4高斯主元素消去法

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1、§2高斯主元素消去法引例（小主元）【例】用Gauss消去法解方程组0.0120%,+1.00%2+2.00%3=1.00<1.00%!+2.63x2+5.24x3=2.00一2.00xj+1.04x7+4.57%^=3.00解：clearalla=[0.01201.002.00;1.002.635.24;-2.001.044.57];b=[1•00;2•00;3•00];x=ab方程组的三位有效数字的解：/=（-0.645,0.476,0.266广Gauss消去法求解（取三位有效数字）：1.002.002.635.241.044.571.002.003.000.01

2、20[Ab]=1.001.00-80.7-166-2.002.00-1625.001.00-81.33.002.001.000.01201.00-162-81.3’一做〉0-80.7-329-16400解出（-0.25，一0.197,0.60/。【注】1）设Ax=b，其中A为n阶非奇异矩阵，可以应用高斯消元法Q2）消元过程中，即使at/O,用其作除数会导致计算中间结果数量级严重增长和舍人误差的累积、扩大，最后使得计算结果不可靠。3）应避免采用绝对值很小的主元素对一般的系数矩阵，最好保持乘数^<1，因此，在高斯消去法中应引进选主元技巧，以便减少计算过程中舍入误差对求解的

3、影响Oclearalla=[0.01201.002.00;1.002.635.24;-2.001.044.57];b=[1.00;2.00;3.00];x_value=vpa（ab,15）%10位有效数字的近似解a=[a,b];eps=le-6;[n,m]=size（a）;Gauss,x=vpa（x,15）%对比高斯消去法的结果一、列主元素消去法基本思想：在每轮消元之前，选列主元素（绝对值最大的元素），使乘数（即消元因子）

4、^

5、<1步骤：设已进行k-1轮消元，得矩阵S1:选列主元素:maxk

6、ee•…U...U2n••蠡•••a)Ukk...a{k}ukn••攀••參••赚a⑻Unknns2：换行：如果则方程组解不唯一，停止运算；否则，如,则可进行下一轮消元；如果/0矣则n。rk,然后进行下一轮消元,算法与例子步1,定义数组A，B,X;输入A,B,EPS步2,对k=l，2，…，n-1做(2.1)〜(2.5):(2.1)求iO使峙

7、:，^)

8、，(2.2)如果小于某小数EPS,则输出无唯一解信息，停机，(2.3)如果iO-k,则做(2.5)，(2.4)交换iO,k两行对应元素，(2.5)对i，j=k+l,…，n消元计算:d、—i尤、步3，回代求解：人=b

9、n/alin=d(z.=n-l，z?-2,…，2，1)y=/+i步4,输出结果。【例】解前面例中的方程组。解用列主元素法求解；增广阵[Ab]=0.01201.002.001.0012.635.242.00-2.001.044.573.00选出主元-2.00并换行消元/,,=-0.500/31=-6.006-2.001.000.0120L044.572.635.241.002.003.(2.(1.(2.001.044.573.00'主元3.152.001.044.573J03.157.533.50/32=0.32103.157.533•:01.012.031.0200-

10、0.390-0.程序：见column_gauss.ma=[0.01201.002.00;1.002.635.24;-2.001.044.57];b=[1.00;2.00;3•00];eps=le-6;回代解出：(-0.655,0.498,0.256)ro二、彳y主元素消去(即在第k行选主元素)(1)12(2)22^(1)"(1广Clk••-Cl^(2)…“2”參參參♦•拳嚳嚳嚳^1（人）Ukk•••akn•••♦♦♦•••（又）ank…ann(A)4/在第k行选主元素：

11、4^

12、=max、完全主兀素$肖去法（即选主元素的范围为k彡i,j^n）、⑴a(l)…U11w

13、12a(2)...w22•••a⑴uka(2)u2k•••…“⑴-U...a(2)U2n••蠡••肇w)z?又）Clkk---akn••攀參參參••壽Ak)Zf（人）■Clnk（幻选主元素=maxIO.JOk