阿基米德折弦定理.doc

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1、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下BD²=AD·CDAB²=AC·ADBC²=CD·AC在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD,自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边由∠PDC+∠ACD=90°,∠PDC+∠HPD=90°推出∠ACD=∠HPD推出∠ABD=∠MPB①推出BM=PM②由∠ABD+∠BAC=90°及①推出∠BAC+∠MPB=90°③由∠MPA+∠MPB=90°及③推出∠BAC=

2、∠MPA推出AM=PM④联②④即得AM=BM推广过圆内接四边形两对角线交点作任一边的垂线，必过以其对边为一边，以交点为顶点的三角形的外心。“过圆O上弧AB的中点，作弦AB的垂线，则垂足必将弦AB平分。”方法1：补短法如图，延长DB至F，使BF=BA∵M是弧ABC的中点∴∠MCA=∠MAC=∠MBC∵MBAC四点共圆∴∠MCA+∠MBA=180°∵∠MBC+∠MBF=180°∴∠MBA=∠MBF∵MB=MB,BF=BA∴△MBF≌△MBA∴∠F=∠MAB=∠MCB∴MF=MC∵MD⊥CF∴CD=DF=DB+BF=AB+BD阿基米德折弦定理方法2：截长法如图，在CD上

3、截取DG=DB∵MD⊥BG∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC∵M是弧ABC的中点∴∠MAC=∠MCA=∠MGB即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA又∠MGB=∠MCB+∠GMC∴∠BMA=∠GMC∵MA=MC∴△MBA≌△MGC∴AB=GC∴CD=CG+GD=AB+BD阿基米德折弦定理方法3：垂线法如图，作MH⊥射线AB，垂足为H。∵M是弧ABC的中点∴MA=MC∵MD⊥BC∴∠MDC=90°=∠H∵∠MAB=∠MCB∴△MHA≌△MDC∴AH=CD，MH=MD又∵MB=MB∴Rt△MHB≌Rt△MDB∴HB=BD∴CD=AH=AB+BH=A

4、B+BD推论1：设M是弧AC的中点，在弧AM上取一点B，连接AB、MB、MC、BC，那么MC²-MB²=BC*AB证明：如图，作MD⊥BC，由勾股定理得MC²=CD²+MD²MB²=BD²+MD²∴MC²-MB²=CD²-BD²=（CD+BD）（CD-BD）=BC*AB推论2：设M是弧AC的中点，B在圆上，且在弧AMC外。连接AB、AC、MB、MC，那么MB²-MC²=AB*BC证明：如图，取弧ABC的中点N，连接MN　　由推论1可知AB*BC=NC²-NB²∵M是弧AC的中点，易得弧CN=弧ABC/2，弧CM=弧AC/2且弧ABC+弧AMC=圆周360°∴弧CN

5、+弧CM=弧MN=180°∴MN是直径∵C、B在圆上∴∠MCN=∠MBN=90°勾股定理得NC²+MC²=NB²+MB²=MN²∴NC²-NB²=MB²-MC²=AB*BC设D是△ABC边BC上一点，且AB+BD=CD。作△ABC的外接圆，有如下逆定理：取弧ABC的中点M，连接MD，则MD⊥BC。证明：不妨作MD‘⊥BC于D’，根据定理有AB+BD‘=CD’∵AB+BD=CD∴CD'-BD'=CD-BD=AB∴D与D'重合∴MD⊥BC作DM⊥BC交弧ABC于M，则M是弧ABC的中点。证明：不妨取弧ABC中点M'，由逆定理1可知M'D⊥BC∵MD⊥BC，且M在弧AB

6、C上∴M与M’重合∴M是弧ABC的中点