2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题.doc

《2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题一（时间：120分钟满分：150）姓名_______________一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．在中，分别是角所对边的边长，若，则的值是_______________2．函数的最小值是_______________3．双曲线的左焦点为，顶点为，是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段为直径的两圆的位置关系一定是_______________4．设，若“方程满足，且方程至少有一根”，就称该方程为“漂亮方程”；则“漂亮方程”的个数为____________5．

2、设是的任一排列，是到的映射，且满足，记数表；若数表的对应位置上至少有一个不同，就说是两张不同的数表，则满足条件的不同的数表的张数为___________6．函数的最大值与最小值之差等于___________7．如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形；那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有_________条．8．设，其中满足，则的最小值为______________9．设内接于半径为的⊙，且，为底边上的高，则的最大值为_______________10．设为整数，集合中的数由小到

3、大组成数列：，则_______________二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．已知正方形的两顶点在抛物线上，另两个顶点在直线上，求此正方形的边长．12．设实数满足条件，，其中，求的最大值．13．如图，是的两条高，和分别是和的中点，是的外心；求证：．14．某班有20人，参加语文、数学考试各一次，考试按10分制评分，即成绩是0到10的整数；考试结果是：①没有0分；②没有两个同学的语文、数学成绩相同．我们说“同学比的成绩好”，是指“同学的语文、数学成绩都不低于”．证明：存在三个同学、、，使得同学比同

4、学的成绩好，同学比的成绩好．2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题一答案一、填空题1．在中，分别是角所对边的边长，若，则的值是解：由得，；即，由正弦函数的有界性及为三角形的内角可知，且，从而，∴；∴．2．函数的最小值是解：；令，则，故最小值为．3．双曲线的左焦点为，顶点为，是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段为直径的两圆的位置关系一定是解：设双曲线的另一个焦点为，线段的中点为，在中，为的中点，为的中点，从而，从而以线段为直径的两圆的位置关系一定是内切．4．设，若“方程满足，且方程至少有一根”，就称该方程为“漂亮方程”

5、；则“漂亮方程”的个数为解：由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为时，有9个满足题意的“漂亮方程”，当一根为时，有3个满足题意的“漂亮方程”，共有12个．5．设是的任一排列，是到的映射，且满足，记数表；若数表的对应位置上至少有一个不同，就说是两张不同的数表；则满足条件的不同的数表的张数为解：对于的一个排列，可以9个映射满足，而共有个排列，所以满足条件的数表共有张．6．函数的最大值与最小值之差等于解：，从而当时，取最大值；当时，取最小值0，从而最大值与最小值之差等于．7．如图，一个立方体，它的每个角都截去

6、一个三棱锥，变成一个新的立体图形；那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有条．解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，共，其中所有的棱都在原立方体的表面，有36条原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以连条，6个面共有120条线都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部．8．设，其中满足，则的最小值为解：由，得；又9．设内接于半径为的⊙，且，为底边上的高，则的最大值为解：设，则；，，，其中；∴的最大值为．10．设为整数，集合中的数由小到大组成数列：，则解：∵为整数且，∴最小取2

7、，此时符合条件的数有；，可在中取，符合条件有的数有；同理，时，符合条件有的数有；时，符合条件有的数有；时，符合条件有的数有；时，符合条件有的数有；∴是中的最小值，即．二、解答题：11．已知正方形的两顶点在抛物线上，另两个顶点在直线上，求此正方形的边长．解：设两点坐标分别为、，显然；∵，∴，即；一方面，，∴①另一方面，，∴②将①代入②，得，即；故或．12．设实数满足条件，，其中，求的最大值．解：，∴；，从而，；，当且仅当，，时等号成立；即，，时，有最大值：．13．如图，是的两条高，和分别是和的中点，是的外心；求证：．证明

8、：如图，连结和，∵，；∴，又∵，∴；延长交于，连结；∵，∴四点共圆；∴，即；又∵，∴，；于是，，即，．14．某班有20人，参加语文、数学考试各一次，考试按10分制评分，即成绩是0到10的整数；考试结果是：①没有0分；②没有两个同学的语文、数学成绩相同．我们说“同学比的成绩好”，是指“同学的语文、数学成绩都不低于”．证明：存在三个同