2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题.doc

《2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题四（时间：120分钟满分：150）姓名_______________一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．已知三个数，则它们的大小关系是______________2．已知两点、到直线的距离分别是，则满足条件的直线一共有_______条．3．设为正整数（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如；记，，，则_____________．4．在平面上，，所围成图形的面积为，则，的交集所表示的图形面积为______________5．在正2014边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为______________6．设函

2、数，在时的最小值为______________7．设手表的表面在一平面上；整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上；从整点到整点的向量记作，则___________8．在中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是______________9．设是非零常数，，若，则___________10．已知，，若为单元素集，则_____________二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切，且动圆与轴相切，（1）求动圆的圆心轨迹方程；（2）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求的值．12．若数列满足，，数列满足

3、，，，求证：．13．锐角中，分别是边的中点，的垂心、外心分别为，射线分别与的外接圆交于点，设是的垂心；求证：三点共线．14．六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子；问：（1）共有多少种不同的骰子；（2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差；在所有的骰子中，求的最大值和最小值．2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题四答案一、填空题：1．已知三个数，则它们的大小关系是______________解：因为；；令，则；又因为，所以；再令，则，而，所以；综上，．2．已知两点、到直线的距离分别是，则满足条件的直线一共有____

4、___条．解：由，分别以、为圆心，和为半径作两个圆，则两圆外切，共有3条公切线．3．设为正整数（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如；记，，，则_____________．解：将，记作：，于是有：从89开始，是周期为8的周期数列．故．4．在平面上，，所围成图形的面积为，则，的交集所表示的图形面积为______________解：在平面上的图形关于轴与轴均对称，由此的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得；为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了；由题意可得的图形在第一象限的面积为；∴总面积为．5．在正2014边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为_____

5、_________解：正边形，对角线共有条；计算与一边平行的对角线条数，因，与平行的对角线的端点只能取自个点，平行线共条；故与某一边平行的对角线共条；由此可得与任何边都不平行的对角线共有：条，故条数为．6．设函数，在时的最小值为______________解：原表达式变形为：（由调和平均值不等式处理其中的不等号）要使上式等号成立，当且仅当：得到，即得；因为，所以当时，，所以．7．设手表的表面在一平面上；整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上；从整点到整点的向量记作，则___________解：连接相邻刻度的线段构成半径为的圆内接正12边形；相邻两

6、个边向量的夹角即为正12边形外角为；各边向量的长为，则；共有12个相等项；所以求得数量积之和为．8．在中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是______________解：三个数成递增等差数列，设为，按题意必须满足且；对于给定的，可以取1，2，……，；故三数成递增等差数列的个数为：；三数成递增等差数列的概率为：．9．设是非零常数，，若，则___________解：已知：，；将改写成：；而；所以有：；即，即，将该值记为；则由知，；即：；而．10．已知，，若为单元素集，则_____________解：由为单元素集，即直线与相切，则．二、解答题：11．在轴同侧的两个圆

7、：动圆和圆外切，且动圆与轴相切，（1）求动圆的圆心轨迹方程；（2）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求的值．解：（1）由，可得：；由，以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方，设动圆圆心坐标为，则有：；整理得到动圆圆心轨迹方程：；……………（5分）另解：由已知可得，动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线，且顶点在点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程：，即…………………（5分）（2）联立方程组：；消去得：，由整理得：；①从①可知：；故令，代入①可得：；再令，代入上式得：；…（10分）同理可得，；可令，代入①可得：；②对②进行配方，可得：；对此式进行奇偶分析，可知