高中数学联赛江苏初赛模拟试题.pdf

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1、2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题一（时间：120分钟满分：150）姓名_______________一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．21．在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对边的边长，若cosAsinA0，cosBsinBab则的值是_______________c2．函数f(x)9x9x2(3x3x)的最小值是_______________x2y23．双曲线1的左焦点为F，顶点为A、A，P是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段a2b2112PF、AA为直径的两圆

2、的位置关系一定是_______________1124．设A{1,2,,10}，若“方程x2bxc0满足b、cA，且方程至少有一根aA”，就称该方程为“漂亮方程”；则“漂亮方程”的个数为____________5．设a,a,a,a是1,2,3,4的任一排列，f是{1,2,3,4}到{1,2,3,4}的映射，且满足f(i)i，1234aaaa记数表1234；若数表M、N的对应位置上至少有一个不同，就说M、Nf(a)f(a)f(a)f(a)1234是两张不同的数表，则满足条件的不同的数表的张数为_

3、__________6．函数f(x)sin2xe

4、sinxcosx

5、的最大值与最小值之差等于___________7．如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形；那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有_________条．8．设Sx2y22(xy)，其中x、y满足logxlogy1，22则S的最小值为______________9．设ABC内接于半径为R的⊙O，且ABAC，AD为底边BC上的高，则ADBC的最大值为_______________10．设r,s,t为整

6、数，集合{a

7、a2r2s2t,0tsr}中的数由小到大组成数列{a}：n7,11,13,14,，则a_______________36二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．已知正方形ABCD的两顶点A、B在抛物线yx2上，另两个顶点C、D在直线yx4上，求此正方形的边长d．12．设实数a、b满足条件axxxxxx，abxxxxxx，其中x、x、x0，123123122331123a26b1求P的最大值．a2a13．如图，BD、CE是ABC的两条高，F和G

8、分别是DE和BC的中点，O是ABC的外心；求证：AO∥FG．DFEABGCO14．某班有20人，参加语文、数学考试各一次，考试按10分制评分，即成绩是0到10的整数；考试结果是：①没有0分；②没有两个同学的语文、数学成绩相同．我们说“同学A比B的成绩好”，是指“同学A的语文、数学成绩都不低于B”．证明：存在三个同学A、B、C，使得同学A比同学B的成绩好，同学B比C的成绩好．2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题一答案一、填空题21．在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长，若cosAsinA0，cosB

9、sinBab则的值是__________c22解：由cosAsinA0得，2sin(A)0；cosBsinB42sin(B)4即sin(A)sin(B)1，由正弦函数的有界性及A、B为三角形的内角可知，44absin(A)1且sin(B)1，从而AB，∴C；∴sinAsinB2．4442c2．函数f(x)9x9x2(3x3x)的最小值是__________解：f(x)9x9x2(3x3x)(3x3x)22(3x3x)2；令t

10、3x3x2，则yt22t2(t1)23，故最小值为2．x2y23．双曲线1的左焦点为F，顶点为A、A，P是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段a2b2112PF、AA为直径的两圆的位置关系一定是__________112解：设双曲线的另一个焦点为F，线段PF的中点为C，在FFP中，C为PF的中点，O为FF211211211的中点，从而OC

11、PF

12、(

13、PF

14、

15、AA

16、)，从而以线段PF、AA为直径的两圆的位置关系222112112一定是内切．4．设A{1,2,,10}，若“方程x2bx

17、c0满足b、cA，且方程至少有一根aA”，就称该方程为“漂亮方程”；则“漂亮方程”的个数为__________解：由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为1时，有9个满足题意的“漂亮方程”，当一根为2时，有3个满足题意的“漂亮方程”，共有12个．5．设a,a,a,