一些经典的概率问题.doc

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1、一些经典的概率问题1.布丰针问题问题:给定间距为2a的平行线,将长度为2c(c

2、x+ccosθ0dxccosθPθ==aa2πPθdθ2c0P==2ππa最后的P就是答案。2.多边形布丰针问题(HDU4978)问题:给定间距为2a的直线和直径不超过2a的凸多边形,随机投掷凸多边形,问相交概率。解:我们假定不知道上一问的答案(实际上这道题有现成的结论),完整地再推一遍。当然我们可以认为是对连续多条边的积分,不过这里我们改成对点的积分,考虑一条直线从a距离处不断向着中心靠拢,最先碰到的是哪个顶点呢?以A顶点为例,显然是α1+α3。这里我们把它拆分开,对于凸多边形的每一条边,计算它的两个端点:0π−OB,

3、AB1P=OAcosθdθ+OBcosθdθ2πaAB0π−OA,AB11P=OBsinOB,AB−OAsinOA,AB=AB2πa2πaABAB3.拉普拉斯针问题问题:给定正交的间距为2a和2b的平行线,将长度为2c(cR讨论交点个数z=0、1、2的概率。解答:这里“随

4、机”是有两种理解的。一种是点随机(先x坐标再y坐标),一种是矢径角随机(先取中心到针的距离u再取角度)。就像我们在一个棒上取两个点,是同时取还是先后取概率会不一样。当然,交度在这一题中没有意义。为了计算方便,我们采取第一种理解方法,这样圆内每一块区域取到的概率和它的面积成正比,而u的概率分布函数为:2u,0≤x≤Rgu=R20,>分类讨论如下:A.d>2R显然P(z=2)=1,P(z=1)=P(z=0)=0B.2R>=d>R此时一定有P(z=0)=0B1.0

5、

6、=1−,p1u=,p2u=0ππC3.R2−d2≤u≤R此时至少一个交点,有:2φ2φp0u=0,p1u=2−,p2u=−1ππ积分结果是:2γ41+γPz=0=2−1−γ2−sin−1ππ24γ2γ81+γPz=1=1−γ2−4−γ2−2+cos−1+sin−1π4π2π242+γ−sin−1π42γ12γPz=2=1−4−γ2−1−γ2−cos−1π2π241+γ42+γ−sin−1+sin−1π2π45.连续切圆的期望(ZOJ3744)问题:有一个半径不超过2的圆,每次随机在圆内取一个点,然后在圆内切一个最大的圆,新的圆必须把旧

7、的圆排除在外,问新圆半径小于等于1所需的步数的期望。解:显见Ex≤1=0,假设半径出现在距圆心距离为r处,则2πr2rr+x概率为Pr==,新半径为,因此期望为Ex=1+πx2x22xr+xx2t−xPrE()dr=1+4E(t)dt,这个方程微分两次可以变成普021x2通二阶微分方程,此处不加求解。6.有向图中删点期望(HDU5036)问题:给定一个定向图,每次操作随机在图内取一个顶点,然后删除这个点和所有这个点能到达的点。问期望的操作次数是多少。解:考虑每一个点可以被它的所有直接的和间接的父亲删除(有环也无所谓)。假设这些点一

8、共有k个,那么这个点直接被删的概率就是1/k,因此只要将原图反向之后求出可达矩阵,然后判断每个点的可达点有多少个,取倒数相加即可。7.连通图的概率(POJ3557)问题:先确定顶点的个数N和一个概率p,然后遍历所有的点对

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