概率问题的一些例子

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1、1654年，有一个法国赌徒梅勒遇到了一个难解的问题：梅勒和他的一个朋友每人出30个金币，两人谁先赢满3局谁就得到全部赌注。在游戏进行了一会儿后，梅勒赢了2局，他的朋友赢了1局。这时候，梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？梅勒的朋友认为，既然他接下来赢的机会是梅勒的一半，那么他该拿到梅勒所得的一半，即他拿20个金币，梅勒拿40个金币。然而梅勒争执道：再掷一次骰子，即使他输了，游戏是平局，他最少也能得到全部赌注的一半——30个金币；但如果他赢了，并可拿走全部的60个金币。在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30个

2、金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币，所以，他应分得45个金币。　　赌本究竟如何分配才合理呢？后来梅勒把这个问题告诉了当时法国著名的数学家帕斯卡，这居然也难住了帕斯卡，因为当时并没有相关知识来解决此类问题，而且两人说的似乎都有道理。帕斯卡又写信告诉了另一个著名的数学家费马，于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信，在通信中，他们最终正确地解决了这个问题。他们设想：如果继续赌下去，梅勒(设为甲)和他朋友(设为乙)最终获胜的机会如何呢？他们俩至多再赌2局即可分出胜负，这2局有4种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3种情况都是甲最后取胜，只有

3、最后一种情况才是乙取胜，所以赌注应按3：1的比例分配，即甲得45个金币，乙15个。虽然梅勒的计算方式不一样，但他的分配方法是对的。帕斯卡写给费马的第一封信已不复存在。在1654年7月29日给费马的回信中，帕斯卡给出了点数问题的解法。帕斯卡所用的是“期望值方法”。他先考虑3点的情形。设甲、乙各下注32pistols，并且甲已经赢了2点，乙已经赢了1点。下一局中，如果甲赢，则他将获得所有的赌注（64pistols）；如果乙赢，则两者都得2点，此时两者赢得下一局的机会均等，每人各应取32pistols。因此，如果甲赢，则甲将获得64pistols；如果他甲输，则甲将获

4、得32pistols。这样，如果赌博中止，甲可以对乙说：“即使我输了下一局，我也总能得到32pistols；至于另外32pistols，或许我得或许你得；我们的机会是均等的。因此我们应该平分这32pistols。”因此甲应得48pistols，乙应得16pistols。再假设甲已经赢了2点，乙一点未赢。下一局中，如果甲赢，甲将得到全部64pistols；如果乙赢，则出现了上面讨论过的情形：甲应得48pistolss。因此，如果赌博中止，甲可以对乙说：“如果我赢了下一局，我就应得64pistols；如果我输了下一局，我就应得48pistols。给我必得的48pis

5、tols，平分另外的16pistols，因为赢得下一点的机会是均等的。”因此甲应得56pistols，乙应得8pistols。　　三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯把这一问题置于更复杂的情形下，试图总结出更一般的规律，结果写成了《论掷骰子游戏中的计算》一书，这就是最早的概率论著作。正是他们把这一类问题提高到了理论的高度，并总结出了其中的一般规律。同时，他们的研究还吸引了许多学者，由此把赌博的数理讨论推向了一个新的台阶，逐渐建立起一些重要概念及运算法则，从而使这类研究从对机会性游戏的分析发展上升为一个新的数学分支。　　由赌徒的问题引起，概

6、率逐渐演变成一门严谨的科学。　　相同的概率，不同的结论　　有时，面对同一个概率事件，随着问题的着眼点不同，我们得出的结论可能截然相反。这一点会使一般人感到迷惑不解，我们在这里打一个通俗的比喻：某人是嫌疑犯，也找到了一些他的犯罪证据，但不是决定性的，若我们要求“只有找到了更重要的犯罪证据才能判他有罪”，则他将被判为无罪；反之，若要求“只有找到了证明他没有犯罪的重要证据才能判他无罪”，则他将被判有罪，在这里，着眼点的不同决定了不同的判罚。　　这方面的著名事例是辛普森杀妻案。　　1994年6月12日深夜，美国洛杉矶西部一个豪华住宅区里，一只小狗在不停地狂吠，引起了邻居

7、家的注意。当人们随着狗吠声来到一住宅门前时，赫然发现两具血淋淋的尸体！警察接到报警后迅速赶到现场，发现两名死者是美国黑人橄榄球明星辛普森的妻子和一个餐馆服务员，而这所豪宅就是辛普森的家。　　警方在经过大量艰苦细致的调查后，搜集到了大量证据都表明辛普森有重大杀人嫌疑：他的汽车上染有死者血迹，车道上也发现血迹，案发现场还有染血手套和其它证据；还有证人作证说在辛普森妻子死亡的时间段内看到了辛普森就在其豪华住宅附近；历年报警记录还显示辛普森曾多次暴力虐妻。这些证据都对辛普森极为不利，检察官据此向法院控告辛普森犯有一级谋杀罪。遗憾的是，控方所提供的证据中有小一部分因不符合

8、法定程序而不被法庭采信。