概率论的总结与例子

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1、第一章事件与概率一．事件间的关系(利用图与几何概型作解释比较方便):1．则有;.2．对偶律:.3．4．与互相对立(互斥)由事件定义与互不相容5．与相互独立相互独立由概率定义两两独立附:①零概率事件亦可发生.②时,“与互不相容”与“与相互独立”不可能同时出现.③“与独立”,“与独立”,“与独立”,“与独立”四个命题等价.二．概率计算中的基本公式及综合运用(首先应认清事件所在的试验与样本空间):1．(去否律)2．(条件概率公式)附：对两事件而言,虽都“发生”了,但.3．(乘法公式)4．(加法公式)5．6．有利于事件之基本事件数(事件包含的样本点数)/基本

2、事件总数(样本点总数),(古概公式)7．(独立试验序列(概型，二项分布)公式)8．(随机抽样模型(超几何分布)公式)9．前提——某一事件由诸多事件引发而发生,且此诸多事件构成一个互不相容事件的完备群时,极应考虑.辨析——由时属于概问题.附:例1．已知则下列选项成立的是(B)(A)(B)(C)(D)解:左=右=选择(B)例2．(99.一)设两两相互独立的三事件满足条件：且已知则(1/4)解:.例3．(03.三)将一枚硬币独立地掷两次,定义事件：{掷第一次出现正面},{掷第二次出现正面},{正、反面各出现一次},{正面出现两次},则事件(C)(A)相互独

3、立;(B)相互独立;(C)两两独立;(D)两两独立.解:可看出应选（C）.例4．(06.三)设A,B为随机事件，且P(B)>0,P(A

4、B)=1，则必有（C）(A)P(A∪B)>P(A).(B)P(A∪B)>P(B).(C)P(A∪B)=P(A).(D)P(A∪B)=P(B).解:由P(B)>0,P(A

5、B)=1,有故选（C）.三．基本问题选讲:1．随机抽球问题：例5．在5红3黄2白的十只球中任取6只,求取到的恰好是3红2黄1白的概率.解：.2．盒子问题：例6．将个球等可能地全部放入到个盒子之中(每个盒子中放入的球数不限),求以下事件的概率：⑴某个指

6、定的盒子中各有1个球;⑵恰有盒子中各有1个球;⑶个球落到某个指定的盒子中;⑷指定的个盒子中共放入了个球(这个盒子中放入的球数不限).解：⑴;⑵(从个盒中任取个盒每盒一个地装这个球);⑶从个球中随意取出个(有种取法),剩余的个球随意地放入到剩余的个盒子中(有种放法),故——很像二项分布;⑷从个球中随意取出个(有种取法),随意地放入到指定的个盒子中(有种放法),剩余的个球随意地放入到剩余的个盒子中(有种放法),故.3．随机取数问题：例7．从十个数字中任取三个不同的数字，试求以下事件的概率：⑴三个数字中不含0和5;⑵三个数字中不含0或不含5;⑶三个数字中含

7、0但不含5.解：⑴;⑵;⑶.4．配对问题：关键:只有编号的球置于个有号的盒中(每盒各置一只球),若第号球恰被置于第号盒,则称第号盒配对.则(将两号盒藏着,专等两号球来接,则其余的个球有种放置法),例8．个客人来时都把雨伞放在门边,走时每人任取一把。求：⑴至少有一人选中自己的雨伞的概率;⑵指定的某个客人未选中的概率;⑶恰有个客人选中自己的雨伞的概率.解：⑴设第个客人选中自己的雨伞,则;⑵“个客人都未选中雨伞的概率”为,则类似的“指定的某个客人未选中的概率”为;⑶可以看出⑴之“和式”中第项应为有个客人选中自己的雨伞的概率;而“恰有个客人选中”还隐有“另有

8、个客人未选中”,这一概率已由⑵所给出,所以.5．几何概型问题：.例9．设实数满足求的概率.解：,.例10．(07.一)在区间随机地取出两个数,则这两个数之差的绝对值小于的概率是3/4.解:,画图可知.6．条件概率问题：例11．从一批废品率为的产品中,重复抽取件产品,初步已发现有件废品,问(在此条件下)这件产品中废品不少与件的概率.解：设这件产品中废品不少于件,这件产品中废品不少于件(显然),则7．独立试验序列(概型)问题：例12．设某公汽车站每5分钟有一辆车到达(每辆到站公汽都能将站上候车的乘客全载走),而每位乘客在5分钟内的任意时刻到达车站是等可能

9、的.求正在车站候车的10位乘客中,恰有一位候车的时间超过4分钟的概率.解：。8．独立性的应用问题：例13．若甲,乙,丙三个小组在一天内独自能将某密谋破译的概率分别为1/2,1/3与1/4。让这三个小组独立地去破译,求一天内这三个小组中至少有一个小组能将此秘码破译的概率.解：分设为甲,乙,丙三个小组独自能将此密谋破译的事件，则.9．全概与逆概问题：例14．一道单选题共列出四个答案,假设某学生知道正确答案的概率为0.5,乱猜的概率也是0.5(设他乱猜而猜对的概率为0.25).如果已知他答对了,问他确实知道哪个是正确答案的概率为.解：设他知道正确答案,他乱

10、猜,他答对了,则故.第二章随机变量及其分布一．一元随机变量:1.几个重要分布::;:;:;:;:;:;(注意