资源描述：
《概率论中几个有趣的例子.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、转载】概率论中几个有趣的例子[2007-6-313:06:00
2、By:Byron] 0推荐作者:ni1985(妮子
3、
4、从东方席地卷来一团野火),原发新水木Mathematics已经酝酿很长时间的本文终于出场了。写本文的主要目的：1很多人看了我前面大量的历史日志后，对我的数学水平产生了怀疑；2有高中的校友师妹咨询关于大学数学学习的问题；3概率论是数学中一个重要而美的分支，可惜多数同学尚没有机会看到其冰山一角。本文的读者适用范围：最低标准是学过工科专业的高等数学和概率论，最高标准不清楚（也许水平比我高的人就不屑于读了）当我跟皇上提到要写这篇文章的想法时，我提
5、到：试图用比较短的篇幅让只要有初等概率论基础的人，也能看懂，从而对较深的概率论的研究对象和有趣的结论有一个初步的了解，激发其进一步深入学习概率论的兴趣。皇上说：那可不容易，相当于一个毕业设计了。我觉得，确实如此，本文是基本失败还是基本成功，还要看读者的评价。要想引入本文的内容，首先从数学美的定义说起。关于数学美，我比较欣赏的有两种观点，一是Birkhoff的观点，数学美=逻辑的复杂程度/表述的复杂程度；二是VonNeumann的观点，数学的活力依赖于与它有联系的科学分支的多寡与分支的活力。也许做应用的人更喜欢后者，但我是比较喜欢前者的。因此，我下面的主要
6、内容就是介绍一些概率论中的基本例子，这些例子的表述是相当简单的，但得到这些例子的手段却比较复杂。我将试图把每个例子表述清楚，让只要有初等概率论基础的读者就知道在说什么，但对得到这些结果的证明过程则一律省略，只简要提出涉及的基本工具，但其中有些比较简单的细节会给大家留为习题。这些例子一律来自伟大的Durrett的著作：Probabilitytheoryandexamples——我认为最优秀的概率论教材。例1.Couponcollector问题：X1,X2,…是独立同分布，均匀的取自集合{1，…，n}的随机变量序列。大家把集合{1，…，n}想象为若干张扑克牌
7、，每次我们等概率的取一张扑克牌，取完放回。，意思就是手中取过k种不同的扑克牌所需的次数。T(n)=t(n,n)表示取过所有扑克牌所需的次数。X(n,k)=t(n,k)-t(n,k-1)，则X(n,k)服从参数是1-(k-1)/n的几何分布（思考题！），它的期望和方差可求，且容易发现X(n,1),…,X(n,n)相互独立，从而可以求出ET(n),VarT(n)（习题！)。且去证明依概率趋近于0.（数学基础稍微深一些的同学都知道，L2收敛蕴含依概率收敛）最终得到一个漂亮的结论：依概率收敛于1.数学基础比较少的同学可以直接看这一行，我把这一行的实际意义说清楚：
8、就是假设我们要收集的邮票有n张，而每次别人给我们提供的邮票恰恰是等概率的，那么要想把n张收集全，需要的时间依概率趋近于nlogn。所以大家就可以发现，为什么我们想集齐比较少的邮票要比集齐多的邮票容易的多。作为更为深层次的读者，我要说的是，在随机变量收敛性问题的研究中，独立性和矩总是常见的关注对象。为什么我们非常喜欢方差这个概念呢？我想一个重要的性质就是：对于独立的随机变量，方差对和有分配律。于是二阶中心矩才会成为最重要的矩。通过对矩的估计把随机变量的收敛性问题，转化为实数序列的收敛性问题，最后完全是数学分析的东西，这种手段是屡屡使用的。例2非对称的简单随
9、机游动问题：独立同分布，,,.对于数学基础不太好的同学，我简单介绍一下这个问题的背景，其实很好理解。设有一个点在0时刻位于实轴的原点0处，它在每个时刻以概率p向右跳跃一个单位长度，以概率q向左跳跃一个单位长度，且跳跃的方向与以前每次跳跃的情况是独立的。表示的是：n时刻这个点所在的位置。我们有如下非常精彩的结论：1,的直观意思就是，这个点首次跳到x的位置的时刻。那么对于任意的，这里函数。上面的这个等式的直观意义：a是负半轴上一点，b是正半轴上一点，点没到b之前先到a的概率被计算了出来。得到这个结论最快的方法就是用鞅论。鞅实在是一个漂亮的东西，而它的漂亮之处
10、就在于它与停时结合在一起后的巨大威力。用N表示和中的较小值，则N是停时。首先要说明的是N小于无穷大。要得到这个结论，我掌握的有三种方法：（1）通过EN小于无穷大，得到这个结论，这事实上是通过一个强的多的结论说明的，具体见Durrett书181页。（2）通过鞅收敛定理，见Durrett书275页。其中用了一个重要结论：一致有界的鞅序列必然一致可积（应该是很显然的吧，呵呵）。（3）通过马氏链的性质：对于一个有可列状态，不可约的马氏链，用F表示状态空间的一个有限子集，设初始状态属于F,用T表示链首次离开F的时间，则一定有T小于无穷大。（可以作为本科生三年级应用
11、随机过程的习题，证之！）2即首次到达b点的平均时间是。处理方法还是用鞅论，这里不
