三角函数的图象与性质.docx

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1、三角函数的图象与性质　1.对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇.2.题型多以小而活的选择题、填空题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档．1．三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin2α＋cos

2、2α＝1，＝tanα.(3)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2．三角函数的图象及常用性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx单调性在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(，0)(k∈Z)3．三角函数的两种常见变换考

3、点一　三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题例1　(1)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　)A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin(2)已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(　　)A.B.C.D.弄清三角函数的概念是解答本题的关键．答案　(1)C　(2)D解析　(1)由三角函数的定义可知，初始位置点P0的弧度为，由于秒针每秒转过的弧度为－，针尖位置P到坐标原点的距离为1

4、，故点P的纵坐标y与时间t的函数关系可能为y＝sin.(2)tanθ＝＝＝－1，又sin>0，cos<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝.(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．(1)已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝，则cos的值为(　　)A.B．－C.D．－答案　B解析　由tan(3π＋

5、α)＝，得tanα＝，cos＝cos＝sinα.∵α∈(－π，0)，∴sinα＝－.(2)如图，以Ox为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为.求的值．解　由三角函数定义，得cosα＝－，sinα＝，∴原式＝＝＝2cos2α＝2×2＝.考点二　三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式例2　函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(其中

6、φ

7、<)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sinωx的图象，则只要将f(x)的图象(　　)A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位答案　A解析　由图象可知，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝

8、2，再由2×＋φ＝π，得φ＝，所以f(x)＝sin.故只需将f(x)＝sin2向右平移个单位，就可得到g(x)＝sin2x.(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(1)(2013·四川)函数f(x

9、)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)A．2，－B．2，－C．4，－D．4，答案　A解析　∵T＝－，T＝π，∴ω＝2，又2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，又φ∈，∴φ＝－，选A.(2)(2012·浙江)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(　　)　　答案　A解析　利用三角函数的图象与变换求解．y＝cos2x＋1y＝cosx＋1y＝cos(x＋1)＋1y＝cos(x