求三角函数最值的类型及方法的探讨.doc

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1、求三角函数最值的类型及方法的探讨•中学数学论文求三角函数最值的类型及方法的探讨邹美红（三亚市榆林八一中学，海南三亚572021）摘要：本文针对三角函数求最值的问题，给出了几种常见类型及求解方法。通过有针对性的方法举例可以帮助学生很好的理解并掌握求函数最值应注意的问题及解题技巧。关键词:三角函数最值;类型；解法；应用举例中图分类号:G633文献标识码：A文章编号:1005-6351（2013）-02-0066-01—、y二asinx+b（或y二acosx+b）型方法归纳：此类题目可直接根据正弦（余弦）函数的有界性进行求解即可。例:

2、已知/(工)=3血(2戈+#)+单,求/(J的最小值及此时J乙北的值。解:令“2—十,则函数可转化为&(“)=3讪+芈当2-号+2歸时有最小值为g(u)y3+孕,故当2x+罟二一号+2*竹时，艮卩兀二Af-春n(&wZ)时,/(%)有最小值/(讥.八3+羊°二寸=asinx+fecosx+c型方疫归纳:此类问题为不同名的三角函数类型•可通过引入辅助侑的方法转化为y=J/+6'siii(久+2cos(工+

3、xcoja+1的最值“解：函数可化为：y=^T(1-cos2兀)-sin2.r+1=-(sin2x+存cos2x)+73+1,8卩，=-2sin(2x+石+1,*.*-1Wgin(2x+-y-)W1，/.当sin(2x+-y-)=-1,即久=kir-春冇时函数取最大值为=3+屁当sin(2x+耳)=I,即x=kir+吾时函数取嚴小佰为射“=312返-IO—nsiru+bt口、—xy=(xgR)型ccoav+a方法归纳:此类型的题口可以先通过左分母化成y=+bcx^x+e型的函数，借助辅助角的方法进一步转化为y=血(戈+卩)的类型

4、，再利用三角函数有界性进行求解「也可采用数形结合法•将丫看成是两点A(d.b)和班-mow-处沁)连线斜率的取值范围问题。例、求函数尸片巫心eR)的最大值与嚴小值「3-cos>x解法一：去分母，函数化为siru一ycosir=2-3y,H卩J++半)=2-3y,从而sin(才+卩)=—~~71+y・・・Isin(x-Kf)

5、C1,故1。/r+7血绒3-划一一3+疔3+03-73解得：-W)W—,・•・=——,?二=——•解法二:函数可转化为求两点4(3,2)和血“)间连线斜率的范围。・・•点(coar,shLt)的轨迹是以原点

6、为圆心，1为半径的圆。过点(3,2)的直线方程为y-2=A(x-3),即fcc-y-3i+2=O.易知当.佃是圆的切线时，直线AB的斜率取得榕佰闵此原点到此直线的距离等于1・即黑r解得:占“ccos.r+nnnSHlX+四=—:csiar+(ICOSCV+方法旷I纳:通过反解sirix或cw得到siar或cosx关于y的函数，利用正弓攵(余弦)函数的单调性解出相应y的取值范围。例:求函数y=2沁［的最值。cosix+33>+1解:函数可化为：(2-y)cz+1.即coax二学土

7、coax

8、<1匸・W1。解得,--WyW±・・・心

9、二+，y*=o五、y=asin*x+6sinx+c型方法归纳：先采用换元法•令2situ，转化成关于，的二次函数求最值的问题•然后利用配方法，根据二次函数的单调性进行求解c例、求函数『=-2sin'x+5sinr+1的最值°解:令/rinx.则-1WfWlo函数可转化为：y=-2/+5/+1,配方得，/=-2(一宁尸+#•对称轴为2丰函数图象开口向下,因此在/二斗左侧是递增函数，在/二斗右侧是递减函数.34•・•-1WfWl<斗.・・・21时函数有昴大值为丁叭=-2(1-44233A/=-1时函数有最小值y站=-2(-1-宁)

10、~+普=-6。六、条件最值问题例、已知函数/(x)=2asin2x-2J3asinxcosx+0ra<0-2o・l+c+a=-5或2a・l+c+a

11、=l—2a•(—I+c+a=1[—2a•(—芬)r厶〃=-5解得C或｛::严°三角函数求最值问题还有其它的一些类型,在此不再一一列举。总之,在解答有关三角函数最值问题的题目时，应注意正弦、余弦函数的有界性及函数的走义域对值域的影响；注意利用二次函数闭区间内的最大