平面向量数量积教案.doc

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1、适用学科高中数学适用年级高一适用区域苏教版区域课时时长（分钟）2课时知识点平面向量的数量积、平面向量数量积的运算律、平面向量数量积的性质及其坐标表示教学目标1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．教学重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算教学难点能运用数量积表示

2、两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积教案教学过程一、导入[考情展望]　1.以客观题的形式考查平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质.2.以平面向量数量积为工具，与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想．二、知识讲解考点1平面向量的数量积1．数量积的定义：已知两个非零向量，它们的夹角为，则向量与的数量积是数量

3、，记作，即.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2．向量的投影：设为与的夹角，则向量在方向上的投影是；向量在方向上的投影是.3．数量积的几何意义：数量积等于的长度与

4、在的方向上的投影的乘积．考点2平面向量的数量积运算律1．交换律：；2．数乘结合律：；考点3平面向量数量积的性质及其坐标表示3．分配律：.已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．结论几何表示坐标表示模

5、a

6、＝

7、a

8、＝数量积a·b＝

9、a

10、

11、b

12、cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0

13、a·b

14、与

15、a

16、

17、b

18、的关系

19、a·b

20、≤

21、a

22、

23、b

24、(当且仅当a∥b时等号成立)

25、x1x2＋y1y2

26、≤·三、例题精析类型一平面向量数量积的运算例题1在△ABC中，M是

27、BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．【规范解答】(1)如图所示，＝＋，＝＋＝－，∴·＝(＋)·(－)＝2－2＝

28、

29、2－

30、

31、2＝9－25＝－16.(2)法一　如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为1，故B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．又E在AB边上，故设E(t,0)(0≤t≤1)．则＝(t，－1)，＝(0，－1)．故·＝1.又＝(1,0)，∴·＝(t，－1

32、)·(1,0)＝t.又0≤t≤1，∴·的最大值为1.法二　∵ABCD是正方形，∴＝.∴·＝·＝

33、

34、

35、

36、cos∠EDA＝

37、

38、

39、

40、cos∠EDA＝

41、

42、·

43、

44、＝

45、

46、2＝1.又E点在线段AB上运动，故为点E与点B重合时，在上的投影最大，此时·＝

47、

48、

49、

50、cos45°＝×＝1.所以·的最大值为1.【总结与反思】1.平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算.2.要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本例(1)中用、表示、等.注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形.类型二平面向量的夹

51、角与垂直例题1(1)若非零向量a，b满足

52、a

53、＝3

54、b

55、＝

56、a＋2b

57、，则a与b夹角的余弦值为________．(2)已知向量与的夹角为120°，且

58、

59、＝3，

60、

61、＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．【规范解答】　(1)由

62、a

63、＝

64、a＋2b

65、，两边平方，得

66、a

67、2＝(a＋2b)2＝

68、a

69、2＋4

70、b

71、2＋4a·b，所以a·b＝－

72、b

73、2.又

74、a

75、＝3

76、b

77、，所以cos〈a，b〉＝＝＝－.(2)∵⊥，∴·＝0.又＝λ＋，＝－，∴(λ＋)(－)＝0，即(λ－1)·－λ2＋2＝0，∴(λ－1)

78、

79、

80、

81、cos120°－9λ＋4＝0.∴(λ

82、－1)×3×2×－9λ＋4＝0.解得λ＝.【总结与反思】1.当a，b以非坐标形式给出时，求〈a，b〉的关键是借助已知条件求出

83、a

84、、

85、b

86、与a·b的关系.2.(1)非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔

87、a＋b

88、＝

89、a－b

90、⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)本例(2)中常见的错误是不会借助向量减法法则把表示成－，导致求解受阻.类型三平面向量的模及其应用例题1　已知＝(cosθ，sinθ)，＝(1＋sinθ，1＋cosθ)，其中0≤θ≤π，求

91、

92、的取值范围及

93、

94、取得最大值时θ的值．【规范解答】∵＝－＝(1＋sinθ－cosθ，1＋cosθ－s

95、inθ)，∴

96、P

97、2＝(1＋sinθ－cosθ)2＋(1＋cosθ－sinθ)2＝4－4sinθcosθ＝4－2sin2θ.∵0≤θ≤π，∴－1≤si