十字相乘法因式分解详解.doc

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1、2.4十字相乘法例题分析【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义；（2）理解十字相乘法的根据；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【因式分解一般要遵循的步骤】多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1把下列各式分解因式：（1）

2、；（2）．点悟：（1）常数项－15可分为3×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．解：（1）；（2）．例2把下列各式分解因式：（1）；（2）．点悟：我们要把多项式分解成形如的形式，这里，而．解：（1）；（2）．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3把下列各式分解

3、因式：（1）；（2）；（3）．点悟：（1）把看作一整体，从而转化为关于的二次三项式；（2）提取公因式(x＋y)后，原式可转化为关于(x＋y)的二次三项式；（3）以为整体，转化为关于的二次三项式．解：（1）＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)．（2）＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2]＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)．（3）点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例

4、4分解因式：．点悟：把看作一个变量，利用换元法解之．解：设，则原式＝(y－3)(y－24)＋90＝(y－18)(y－9)4．点拨：本题中将视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．例5分解因式．点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．解：原式，令，则原式．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节．例6分解因式．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x－y)

5、的二次三项式．方法2：把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式．解法1：．解法2：＝(x－y－6)(x－y＋1)．例7分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)＝(a－b)(c－a)(c－b)．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c的次数分组，出现了含a－b的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c的二次三项式能再次分解．例8已知有一个因式是，求a值和这

6、个多项式的其他因式．点悟：因为是四次多项式，有一个因式是，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是（a、b是待定常数），故有．根据此恒等关系式，可求出a，b的值．解：设另一个多项式为，则，∵与是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有4由①、③解得，a＝－1，b＝1，代入②，等式成立．∴a＝－1，另一个因式为．点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9分解因式：．错解：∵－10＝5×(－2)，5＝1×5，5×5＋1×(－2)＝

7、23，∴原式＝(5ab＋5y)(－2ab＋5y)．警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤．正解：∵5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴原式＝(ab＋5y)(5ab－2y)．【同步练习】一、选择题1．如果，那么p等于(　)A．abB．a＋bC．－abD．－(a＋b)2．如果，则b为(　)A．5B．－6C．－5D．63．多项式可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为(　)A．10和－2B．－10和2C．10和2D．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是(　)A．B．C．D．5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5

8、)的多项式是(　)A．B．C．D．6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项