极坐标与参数方程总结与习题.docx

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1、极坐标教案3.2极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部

2、坐标为(,＋)或（，＋），(Z)．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：⑴⑵⑶⑷⑸⑹4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：⑴⑵⑶⑷⑸⑹5、极坐标与直角坐标互化公式：191．直线的极坐标方程若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，求直线l的极坐标方程。设直线l上任意一点的坐标为P(ρ，θ)，由正弦定理，得：=整理得直线l的极坐标方程为ρsin(θ−α)=ρ0sin(θ0−α)。一些特殊位置的直线方程如下：经过极点经过定点

3、M(a，0)，且与极轴垂直经过定点M(b，)，且与极轴平行θ=αρcosθ=aρsinθ=bxO(M)lαxOlMaxOlM(b，)a2．圆的极坐标方程MPρρ0θ0θOx若圆的圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，求圆的极坐标方程。设P(ρ，θ)为圆上任意一点，由余弦定理，得PM2=OM2+OP2−2OM·OPcos∠POM，则圆的极坐标方程是ρ2−2ρ0ρcos(θ−θ0)+−r2=0一些特殊位置的圆的方程如下(设圆的半径为r)：圆心在极点圆心在极点右侧圆心在极点上方圆心在极点左侧圆心在极点下方ρ=rρ=2rcosθρ=2rsinθρ=−2rcosθρ=−2rsinθxOxOxOOxxO（一

4、）曲线的参数方程的定义：19在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即　　并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：　　（t为参数）其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何意义，有以下结论．．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则＝＝．．线段AB的中点所对应的参数值等于

5、．2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆：　　（为参数）3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：　　　　（为参数）　　（或　）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：　　　　（为参数）　　（或　）5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：　　（t为参数，p＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是　　（t为参数）．19【乘积用的】极坐标的点与直角坐标系的点的互化：1．已知，下列所给出的不能表示点的坐标的是（）AA．B．C．D．2．下列各点中与极坐标不表示同一个点的极坐标

6、是（　　）　BＡ．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．3．点，则它的极坐标是（）CA．B．C．D．1．点的极坐标为。2．若A，B，则

7、AB

8、=_________，__________。（其中O是极点）[5，6；]5．将直角坐标Ｐ化为极坐标　　　　　　　　　　。16.已知三点A(5，)，B(-8，)，C(3，)，则ΔABC形状为.锐角三角形17.点，则它的极坐标是极坐标方程的轨迹1．的底边以B点为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹方程。1、（提示：用正弦定理解△ABC，）２．在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径=1，Q点在圆C上运动。（1）求圆C的极坐标方程；（2）若P在直线OQ上运动，且OQ∶QP=2∶3

9、，求动点P的轨迹方程。2、（1）；（2）19（提示：设P，Q（，依题意得：，代入可得。）17．在平面直角坐标系中已知点A（3，0），P是圆上一个运点，且的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹的极坐标方程。解:以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,19题型：一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：或θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.例1(2